Задача 3 (Неперервність функції комплексної змінної)

Дослідити на неперервність функцію   f(z)=\frac{\left|z \right|}{z} .

Виділимо дійсну і уявну частину в заданій функції:

 f(z)=\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x+iy}=\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}\left( x-iy\right)}{(x+iy)\left( x-iy\right)}=

  \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}\left( x-iy\right)}{x^{2}+y^{2}}=\frac{x-iy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}-i\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.

Запишемо дану функцію у вигляді: f(z) = u (x;y) – i v(x;y). Очевидно, що функції u (x;y) та v(x;y) є неперервними на всій множині R2, окрім точки (0; 0). Тому функція f(z) є неперервною на всій множині комплексних чисел, окрім нуля. А значить точка z = 0 є точкою розриву заданої функції. ♦

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Грудень 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Лис    
 12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930
31