Задача 3 (Обчислення координат центра маси півсфери)

Обчислити координати центра маси півсфери, якщо в кожній її точці поверхнева густина чисельно дорівнює відстані цієї точки від радіуса, перпендикулярного до основи півсфери.

♦ Розмістимо початок прямокутної системи координат у центрі основи півсфери, а вісь OZ направимо перпендикулярно до цієї основи. Тоді рівняння півсфери матиме вигляд  z=\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}, де R – радіус півсфери, а поверхнева густина в точці (x; y; z)  \gamma =\sqrt{R^{2}-z^{2}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}} . Користуючись формулою  m=\int _{S}\int \gamma (x,y,z)dS та переходячи до полярних координат, дістаємо  m=R\int _{D_{xy}}\int \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}dxdy}}{\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}}=R\int_{0}^{2\pi }{\frac{\rho ^{2}d\rho }{\sqrt{R^{2}-\rho ^{2}}}}=\frac{\pi ^{2}R^{3}}{2} (внутрішній інтеграл обчислено за допомогою підстановки ρ = R sin t).

Оскільки поверхня симетрична відносно осі OZ, то  \bar{x}=\bar{y}=0 . Враховуючи неоднорідність поверхні, знаходимо

 \bar{z}=\frac{1}{m}\int _{S}\int z\gamma dS=\frac{2}{\pi ^{2}R^{3}}R\int _{D_{xy}}\int \sqrt{x^{2}+y^{2}}dxdy=

 =\frac{2}{\pi ^{2}R^{3}}\int_{0}^{2\pi }{d\varphi }\int_{0}^{R}{\rho ^{2}d\rho }=\frac{4R}{3\pi } .♦

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Червень 2019
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Тра    
 12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930