Задача 3 (Обчислення об’єму)

Визначити об’єм діжки за розмірами перерізу, вказаного на малюнку, де верхня і нихня криві – параболи y = ±px2 ± q. Обчислити цей об’єм при r = 0,75 м,  R = 1 м та l = 3 м.

♦ Скористаємося формулою  V=\pi \int_{a}^{b}{f^{2}(x)dx} , де f(x) = -px2 + q – рівняння верхньої параболи, а = -l/2, q = l/2.

Спочатку знайдемо загальну формулу для обчислення об’єму діжки як тіла обертання, враховуючи її симетричність відносно осі OY. Маємо:

 \frac{1}{2}V=\pi \int_{0}^{\frac{l}{2}}{(-px^{2}+q)^{2}dx}=\pi \int_{0}^{\frac{l}{2}}{(p^{2}x^{4}-2pqx^{2}+q^{2})dx}=

 =\pi (\frac{p^{2}}{5}x^{5}-\frac{2}{3}pqx^{3}+q^{2}x)|_{0}^{\frac{l}{2}}=\frac{\pi }{15}(\frac{3}{32}p^{2}l^{5}-\frac{5}{4}pql^{3}+\frac{15}{2}q^{2}l)

Тоді

 V = \frac{\pi }{15\cdot 16}((3p^{2}l^{5}-40pql^{3}+15\cdot 16q^{2}l)

Оскільки y = R при x = 0 і y = r при x = l / 2, то q = R і  p=\frac{4(R-r)}{l^{2}} , тобто рівняння верхньої параболи має вигляд  y=\frac{4(r-R)}{l^{2}}x^{2}+R . Отже,

 V=\frac{\pi l}{15}(3(R-r)^{2}-10R(R-r)+15R^{2})=\frac{\pi l}{15}(8R^{2}+4Rr+3r^{2})

При заданих значеннях  r = 0,75 м,  R = 1 м та l = 3 м. дістанемо V = 2,54 π ≈ 8 м3. ♦

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Червень 2019
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Тра    
 12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930