Задача 3 (Обчислення площі фігури)

Визначити площу фігури, обмеженої лініями у = 3 + 2х – х2, у = 0, х + у – 5 = 0.

♦ На координатній площині зображуємо задані лінії.

Графіком функції у = 3 + 2х – хє парабола, вітки напрямлені вниз. Знайдемо нулі даної функції: 

 – х2+ 2х + 3 = 0; 

х2– 2х – 3 = 0 ⇒ х = 3 або х = -1.

у(0) = 3.

Знайдемо координати (m; n) вершини параболи: 

 m=-\frac{b}{2a}=\frac{-2}{-2}=1 ;

n = y(m) = y(1) = -12 + 2·1 + 3 = 4.

Графіком функції у = 5 – х є пряма, яка проходить через точки (5;0) і (0;5).

Визначимо координати точок перетину параболи 

у = 3 + 2х – х2 з прямою у = 5 – х. 

5 – х = 3 + 2х – х2;

х2 – 3х + 2 = 0;

х1 = 1; х2 = 2;

у1 = 5 – 1 = 4;  у2 = 5 – 2 = 3.

Отже, В (1; 4), К (2; 3) – точки перетину параболи у = 3 + 2х – х2 з прямою у = 5 – х. SABKD = SABC + SΔBCD

 S_{ABC}=\int_{-1}^{1}{(3+2x-x^{2}}dx=\left(3x+2\cdot \frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3} \right)|_{-1}^{1}=

 = \left(3x+x^{2}-\frac{1}{3}x^{3} \right)|_{-1}^{1}=

 = 3\cdot 1+1^{2}-\frac{1}{3}\cdot 1^{3}-\left(3\cdot (-1)+(-1)^{2}- \frac{1}{3}\cdot (-1)^{3} \right)

  = 3+1-\frac{1}{3}+3-1-\frac{1}{3}=6-\frac{2}{3}=5\frac{1}{3} ;

 S_{\Delta BCD}=\frac{1}{2}BC\cdot CD=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4=8;\; S_{ABKD}=5\frac{1}{3}+8=13\frac{1}{3} .♦

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Реклама
Календар
Травень 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Кві    
 123456
78910111213
14151617181920
21222324252627
28293031