Задача 3 (Основні числові характеристики випадкових величин, коефіцієнт кореляції, рівняння прямих регресій)

Внаслідок проведення п’яти незалежних випробувань дістали п’ять пар значень випадкових величин X і Y, заданих у вигляді таблиці:

Обчислити основні числові характеристики випадкових величин та записати рівняння прямих регресій Y на Х і Х на Y.

♦ Очевидно, що в результаті кожного з п’яти випробувань дістаємо єдину пару значень і; уі), тому для варіант хі та уі випадкових величин Х та Y частоти ni = nj = 1. Обчислимо статистичне середнє, дисперсію та середнє квадратичне відхилення для випадковвих величин X та Y: 

 \bar{x}=\frac{1}{5}\sum_{i=1}^{5}{x_{i}n_{i}}=\frac{1}{5}(2+2,2+

 +2,3+2,5+2,8)=\frac{11,8}{5}=2,36

 \bar{y}=\frac{1}{5}\sum_{i=1}^{5}{y_{i}n_{i}}=\frac{1}{5}(5+4,8+4,6+

 +4,3+4,2)=\frac{22,9}{5}=4,58 ;

 D_{x}=\frac{1}{5}(2^{2}+2,2^{2}+2,3^{2}+2,5^{2}+2,8^{2})-(2,36)^{2}=

= \frac{28,22}{5}-5,5696=5,644-5,5696=0,0744 ;

 D_{y}=\frac{1}{5}(5^{2}+4,8^{2}+4,6^{2}+4,3^{2}+4,2^{2})-(4,58)^{2}=  

 =\frac{105,33}{5}-20,9764=21,066-20,9764=0,0896 ;

 \sigma _{x}=\sqrt{D_{x}}=\sqrt{0,0744}\approx 0,273 ;

 \sigma _{y}=\sqrt{D_{y}}=\sqrt{0,0896}\approx 0,299 .

Для вивчення залежності між величинами X i Y обчислимо вибірковий коефіцієнт кореляції, який визначається за формулою  r_{xy}=\frac{\bar{xy}-\bar{x}\bar{y}}{\sigma _{x}\sigma _{y}} .

Оскільки  \bar{xy}=\frac{1}{5}(2\cdot 5+2,2\cdot 4,8+2,3\cdot 4,6+  

 +2,5\cdot 4,3+2,8\cdot 4,2)=\frac{53,65}{5}=10,73 ,

то  r_{xy}=\frac{10,73-2,36\cdot 4,58}{0,273\cdot 0,299}=-\frac{0,08}{0,0816}=-0,98 .  

Отже, коефіцієнт кореляції  \left|r_{xy} \right|\approx 1 , тому залежність між величинами X і Y можна вважати лінійною, причому кореляція є від’ємною (значення Y спадають при зростанні значень X).

 У цьому випадку лінії регресії є прямими. Запишемо рівняння прямих регресії Y на X:  y-\bar{y}=r_{xy}\frac{\sigma _{x}}{\sigma _{y}}(x-\bar{x}) та Х на Y:  x-\bar{x}=r_{xy}\frac{\sigma _{x}}{\sigma _{y}}(y-\bar{y}) .

Тоді рівняння прямих регресії мають вигляд:

 y-4,58=-0,98\cdot \frac{0,299}{0,273}(x-2,36)\Rightarrow   

 y-4,58=-1,073(x-2,36)\Rightarrow y=-1,073x+7,112  

 x-2,36=-0,98\cdot \frac{0,273}{0,299}(y-4,58)\Rightarrow

 x-2,36=-0,895(y-4,58)\Rightarrow x=-0,895y+6,459 .♦

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Червень 2019
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Тра    
 12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930