Задача 3 ( Ознаки збіжності числових рядів)

Дослідити ряди на збіжність:

а) \sum_{n=1}^{\propto }{\frac{1}{\sqrt{n}}} ;

б) \sum_{n=1}^{\propto }{\frac{2^{n}}{n^{3}}} ;

в) \sum_{n=1}^{\propto }{\left(sin\frac{3}{n} \right)^{n}} .

а) Скористаємося першою ознакою порівняння рядів. Оскільки   \frac{1}{\sqrt{n}}\geq \frac{1}{n} для всіх n ∈ N, а гармонічний ряд   \sum_{n=1}^{\propto }{\frac{1}{n}} розбігається, то і заданий ряд є розбіжним.

б) Для дослідження даного ряду на збіжність використаємо ознаку Д’Аламбера. Оскільки: 

a_{n}=\frac{2^{n}}{n^{3}},\; a_{n+1}=\frac{2^{n+1}}{(n+1)^{3}},\;  , то D=\lim_{n\rightarrow \propto }\frac{2^{n+1}\cdot n^{3}}{2^{n}(n+1)^{3}}=2\lim_{n\rightarrow \propto }\frac{ n^{3}}{(n+1)^{3}}=2 . Отже, D>1, а значить ряд розбіжний.

в) Даний ряд дослідимо на збіжність, використовуючи ознаку Коші. 

 K=\lim_{n\rightarrow \propto }\sqrt[n]{\left(sin\frac{3}{n} \right)^{n}}=\lim_{n\rightarrow \propto }sin\frac{3}{n}=0<1. Отже, ряд розбіжний.♦

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Реклама
Календар
Липень 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Кві    
 1
2345678
9101112131415
16171819202122
23242526272829
3031