Задача 2 (Перерізи поверхні площинами)

Дано поверхню   \frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{4}=2z . Знайти перерізи заданої поверхні площинами    y - 4=0, z = x   та точки її перетину з прямою  \frac{x-1}{2}=\frac{y+4}{4}=\frac{z}{1}.

♦ Задана поверхня є гіперболічним параболоїдом. Знайдемо переріз цієї поверхні площиною  y - 4=0  \frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{4}=2z\Rightarrow \frac{x^{2}}{3}-\frac{4^{2}}{4}=2z\Rightarrow \frac{x^{2}}{3}=2z+4\Rightarrow x^{2}=6(z+2)

Останнє рівняння визначає параболу, яка лежить у площині у = 4. Вершиною параболи є точка О’( 0; 4; -2), а параметр р=3.

Тепер знайдемо криву перетину даної поверхні площиною  z = x  :  \frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{4}=2x\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{4}=2x . Виділимо повні квадрати:    \frac{1}{3}(x^{2}-6x+9)-\frac{y^{2}}{4}=3\Rightarrow \frac{(x-3)^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{12}=1 .

Отже, в перерізі отримали гіперболу: \frac{(x-3)^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{12}=1 .

Центром цієї гіперболи є точка О’(3; 0; 3), півосі   a=3,\;  b=2\sqrt{3} , а її вершини знаходяться у точках А1 (0; 0; 0) та А(6; 0; 6).

Для визначення точок перетину даної поверхні з прямою  \frac{x-1}{2}=\frac{y+4}{4}=\frac{z}{1} запишемо рівняння прямої в параметричному вигляді : x = 2t +1, y = 4t – 2, z = t.

Підставивши ці значення у рівняння поверхні, отримаємо:

 \frac{(2t+1)^{2}}{3}-\frac{(4t-2)^{2}}{4}=2t\\\Rightarrow \frac{4t^{2}+4t+1}{3}-(4t^{2}-4t+1)-2t=0\Rightarrow .

1+4t+4t^{2}-12t^{2}+12t-3-6t=0\Rightarrow 4t^{2}-5t+1=0..

D=25-16=9 \Rightarrow x_{1,2}=\frac{5\pm 3}{8}\Rightarrow x_{1}=1, x_{2}=\frac{1}{4}.

Підставивши ці значення у рівняння прямої, отримаємо дві точки перетину прямої з поверхнею:

x_{1}=2+1=3,\; y_{1}=4-2=2,\; z_{1}=1\Rightarrow M_{1}(3;2;1)

x_{2}=2\cdot \frac{1}{4}+1=\frac{3}{2},\; y_{2}=4\cdot \frac{1}{4}-2=-1,\; z_{2}=\frac{1}{4}\Rightarrow M_{2}(\frac{3}{2};-1;\frac{1}{4}).♦

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Реклама
Календар
Липень 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Кві    
 1
2345678
9101112131415
16171819202122
23242526272829
3031