Задача 3 (Площа поверхні сфери, описанної навколо піраміди)

Бічне ребро правильної чотирикутної піраміди дорівнює b і утворює з висотою піраміди кут β. Знайти площу поверхні сфери, описаної навколо даної піраміди.

♦ Задача 3 (Площа поверхні сфери, описанної навколо піраміди)О – центр квадрата АВСD.

Оскільки бічне ребро піраміди SB i перпендикуляр SO, проведений до її основи через центр кола, яке описане навколо основи, не є мимобіжними прямими, то центр сфери, описаної навколо даної піраміди, є точкоюю перетину серединного перпендикуляра до бічного ребра SB, проведеного в площині (SBO), із перпендикуляром SO. Нехай О1 – центр описаної сфери, тоді SO1 – радіус сфери. Задача 3 (Площа поверхні сфери, описанної навколо піраміди)4πR2 = 4πO1S2.

Із прямокутного трикутника SOB (∠ О = 90о):

SO = SB cosβ = b cosβ.

Розглянемо прямокутні трикутники SKO1 i SOB. У них спільний ∠ S. Отже, Δ SKO1 ∼ Δ SOB (за двома кутами), тому: 

 \frac{SK}{SO}=\frac{SO_{1}}{SB} ;

  \frac{b}{2bcos\beta }=\frac{SO_{1}}{b};

 SO_{1}=\frac{b^{2}}{2bcos\beta }=\frac{b}{2cos\beta } ;

 S=4\pi \left(\frac{b}{2cos\beta } \right)^{2}=\frac{\pi b^{2}}{cos^{2}\beta } ♦ 

 

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *