Задача 3 (Похідна складеної функції)

Обчислити похідні складених функцій:

а)  y=tg (7x^{2}+3) ;

б)  y=9ln\frac{x^{2}}{3} ;

в)  y=4^{arcsin ctg x} .

♦ Щоб знайти похідну складеної функції, потрібно похідну внутрішньої функції помножити на похідну зовнішньої функції.

а) Зовнішня функція – тангенс, внутрішня степенева (квадратична) функція. В даному випадку потрібно похідну від тангенса помножити на похідну від степеневої функції:  y'=\left( tg (7x^{2}+3)\right)'=\frac{1}{cos^{2}\left(7x^{2}+3 \right)}\cdot \left(7x^{2}+3 \right)'=

=\frac{1}{cos^{2}\left(7x^{2}+3 \right)}\cdot 14x=\frac{14x}{cos^{2}\left(7x^{2}+3 \right)}  .

б) Зовнішня функція – логарифм, внутрішня – квадратична функція. Тому для обчислення похідної функції потрібно похідну від натурального логарифма помножити на похідну від квадратичної функції:

 y'=\left( 9ln\frac{x^{2}}{3}\right)'=9\frac{1}{\frac{x^{2}}{3}}\cdot \left(\frac{x^{2}}{3} \right)'=9\frac{3}{x^{2}}\cdot \frac{2x}{3}=\frac{18}{x} .

в) Для даного випадку зовнішня функція – показникова, перша внутрішня – арксинус, друга внутрішня – котангенс. Тому для обчислення похідної потрібно похідну від показникової функції помножити на похідну від арксинуса та помножити на похідну від котангенса:   y'=\left( 4^{arcsin ctg x}\right)'=4^{arcsin ctg x}\cdot ln4\cdot \left(arcsin ctgx \right)'\left(ctgx \right)'=

  =ln4\cdot 4^{arcsin ctg x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-ctg^{2}x}}\cdot \left(-\frac{1}{sin^{2}x} \right) = -\frac{ln4\cdot 4^{arcsin ctg x}}{\sqrt{1-ctg^{2}x}\cdot sin^{2}x }  .♦

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Листопад 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Жов    
 1234
567891011
12131415161718
19202122232425
2627282930