Задача 3 ( Рівняння медіани, висоти, бісектриси трикутника. Довжина висоти)

Відомо, що точки А (1;-2), В (5; 4), С (-2; 0) є вершинами трикутника АВС. Для цього трикутника записати:

а) рівняння медіани СМ;

б) рівняння висоти ВН;

в)  рівняння бісектриси АР;

г) довжину висоти ВН.

♦ Точка М (х1; у1) – середина сторони АВ. Тому:   x_{1}=\frac{1+5}{2}=3,\; y_{1}=\frac{-2+4}{2}=1\;\Rightarrow M (3;1)

Тепер можемо записати рівняння медіани  СМ:

  \frac{x+2}{3+2}=\frac{y-0}{1-0}\Leftrightarrow x-5y+2=0

Висота ВН перпендикулярна до сторони АС, а тому має вектор нормалі   \bar{AC}(-3;2) і проходить через точку В. Тому її рівняння матиме вигляд:

-3 (х – 5) +2 (у – 4) = 0 ⇔ 3х -2у + 4 = 0.

Довжину висоти ВН будемо шукати як відстань від точки В до прямої АС:

 BH = \rho (B,AC)=\frac{2\cdot 5+3\cdot 4+4}{\sqrt{2^{2}+3^{2}}}=\frac{26}{\sqrt{13}}=2\sqrt{13} .

Для визначення рівняння прямо АВ скористаємося властивістю бісектриси:  \frac{BP}{PC}=\frac{AB}{AC}

 AB =\sqrt{(5-1)^{2}+(4+2)^{2}}=\sqrt{52}=2\sqrt{13},

 AC = \sqrt{(-3)^{2}+2^{2}}=\sqrt{13}, тому  \frac{BP}{PC}=\frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{13}}=2.

Оскільки точка Р (х 2 ; у 2 ) ділить відрізок ВС у відношенні λ = 2, то за формулами координат точки, що ділить відрізок у заданому співвідношенні, маємо:

 x_{2}=\frac{5+2\cdot (-2)}{1+2}=\frac{1}{3},\; y_{2}=\frac{4+2\cdot 0}{1+2}=\frac{4}{3}\Rightarrow P(\frac{1}{3;\frac{4}{3}}) .

Отже, рівнянн бісектриси має вигляд:

 \frac{x-1}{\frac{1}{3}-1}=\frac{y+2}{\frac{4}{3}+2}\Leftrightarrow \frac{10}{3}(x-1)=-\frac{2}{3}(y+2)\Leftrightarrow 5x+y-3=0.  ♦

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Грудень 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Лис    
 12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930
31