Задача 3 (Скласти закон розподілу)

Скласти закон розподілу кількості хлопчиків у сім’ї з трьома дітьми, вважаючи ймовірність того, що навмання вибрана дитина є хлопчиком, дорівнює р = 0,5.

♦ Нехай випадкова величина Х – це число хлопчиків у сім’ї з трьома дітьми. Очевидно, що Х набуває значень 0, 1, 2 і 3. Оскільки дітей можна розглядати незалежно одне від одного, то наявність m хлопчиків у сім’ї – це поява події А (дитина – хлопчик) m разів у серії з трьох випробувань. У цьому випадку маємо біномний розподіл. Тому відповідні ймовірності обчислюємо за формулою Бернуллі  p_{m}=P(X=m)=C_{n}^{m}p^{m}q^{n-m},\; m\in \bar{0,n},\; q=1-p , при m = 0, 1, 2, 3. Враховуючи, що р = 0,5, q = 1 – 0,5 = 0,5, 0! = 1, дістаємо:

  p_{0}=P(X=0)=C_{3}^{0}\cdot 0,5^{0}\cdot 0,5^{3}=\frac{3!}{0!3!}\cdot 0,5^{3}=0,125 ;

 p_{1}=P(X=1)=C_{3}^{1}\cdot 0,5^{1}\cdot 0,5^{2}=\frac{3!}{1!2!}\cdot 0,5^{3}=0,375 ;

 p_{2}=P(X=2)=C_{3}^{2}\cdot 0,5^{2}\cdot 0,5^{1}=\frac{3!}{2!1!}\cdot 0,5^{3}=0,375 ;

 p_{3}=P(X=3)=C_{3}^{3}\cdot 0,5^{3}\cdot 0,5^{0}=\frac{3!}{3!0!}\cdot 0,5^{3}=0,125 .
Переконуємося, що
 \sum_{k=0}^{3}{p_{k}}=0,125+0,375+0,375+0,125=1 .

Отже, розподіл випадкової величини у даному випадку має вигляд:
Варто зауважити, що розподіл кількості дівчаток у сім’ї з трьома дітьми має такий самий вигляд, оскільки для навмання вибраної дитини вважаємо однаковими ймовірності бути хлопчиком або дівчинкою p = q = 0,5.
Крім того, найімовірнішим є те, що в сім’ї з трьома дітьми є один хлопчик і дві дівчинки або два хлопчики і одна дівчинка.♦

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Червень 2019
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Тра    
 12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930