Задача 3 (Визначення внутрішнього кута, центра ваги та довжини медіани трикутника)

Вершини трикутника АВС задані своїми координатами: А(4;3), В(16;-6) і С(20;16). Знайти:

а) внутрішній кут при вершині В;

б) довжину медіани АМ;

в) центр ваги трикутника.

♦ а) Визначимо внутрішній кут при вершині В.

 ∠АВС будемо визначати як кут між векторами \bar{BA} \:\;  i\: \;  \bar{BC}

Знайдемо координати цих векторів:

\bar{BA}=(4-16;3+6)=(-12;9) ;

\bar{BC}=(20-16;16++)=(4;22) ;

Визначимо їх скалярний добуток:

\bar{BA}\cdot \bar{BC}=-12\cdot 4+9\cdot 22=150 ;

Знайдемо модулі цих векторів:

\left| \bar{BA}\right|=\sqrt{(-12)^{2}+9^{2}}=\sqrt{225}=15 ;

\left| \bar{BC}\right|=\sqrt{4^{2}+22^{2}}=\sqrt{500}=10\sqrt{5} .

За формулою знайдемо косинус кута між векторами, а потім і сам кут:

cos ∠ ABC= \frac{\bar{BA}\cdot \bar{BC}}{\left| \bar{BA}\right|\cdot \left| \bar{BC}\right|}=\frac{150}{15\cdot 10\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5} ⇒

∠ ABC=\arccos\frac{\sqrt{5}}{5}\approx 63^{o}26'

 б) Знайдемо довжину медіани АМ.

Оскільки медіана АМ – медіана, опущена з вершини А на сторону ВС, то координати точки М (х; у) шукатимемо як координати середини  відрізка ВС за формулами:

x=\frac{16+20}{2}=18, \; y=\frac{-6+16}{2}=5 \; \Rightarrow M(18;5) .

Тому довжина медіани AM = \sqrt{(18+4)^{2}+(5-3)^{2}}=\sqrt{200}=10\sqrt{2} .

в) Визначимо центр ваги трикутника.

Центром ваги довільного трикутника є точка перетину його медіан. Позначимо шукану точку V(x_{v};y_{v})

Відомо, що медіани у точкою перетину діляться у відношенні 2:1, починаючи від вершини трикутника. Тому, медіана АМ точкою перетину ділиться у відношенні 2:1, починаючи від вершини А. Значить:  \lambda =\frac{AV_{1}}{V_{1}M}=2

За формулами поділу відрізка у заданому співвідношенні дістаємо:

 x_{1}=\frac{4+2\cdot 18}{1+2}=\frac{40}{3};

y_{1}=\frac{3+2\cdot 3}{1+2}=\frac{13}{3}

Звідси маємо:

V_{1}(\frac{40}{3};\frac{13}{3})

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Реклама
Календар
Липень 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Кві    
 1
2345678
9101112131415
16171819202122
23242526272829
3031