Задача 4 (Абсолютна та умовна збіжність рядів)

Перевірити ряди на збіжність (абсолютну та умовну) та розбіжність:

а) \sum_{n=1}^{\propto }{\left(-1 \right)^{n}tg\frac{1}{\sqrt{n}}} ;

б)  1-\frac{1}{3}-\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{3^{3}}-\frac{1}{3^{4}}+\frac{1}{3^{5}}+...;

в) 3-\frac{5}{2}+\frac{7}{3}-\frac{9}{4}+... .

а) Ряд розбігається за ознакою Лейбніца, оскільки   tg\frac{1}{\sqrt{n+1}}<tg\frac{1}{\sqrt{n}}\;  для будь-яких n ∈ N і  \lim_{n\rightarrow \propto }tg\frac{1}{\sqrt{n}}=0 . Запишемо тепер ряд з абсолютних величин його членів. Дістанемо розбіжний ряд   \sum_{n=1}^{\propto }{tg\frac{1}{\sqrt{n}}}, тому що його можна порівняти з узагальненим гармонічним рядом  \sum_{n=1}^{\propto }{\frac{1}{\sqrt{n}}} , який розбігається (тут   \alpha =\frac{1}{2}<1). Тому заданий ряд є умовно збіжним. 

б) Члени заданого ряду мають довільні знаки. Складемо ряд з абсолютних величин членів цього ряду. Дістанемо геометричний ряд  \sum_{n=1}^{\propto }{\frac{1}{3^{n-1}}} , в якого знаменник   q=\frac{1}{3}<1 . Отже, заданий ряд збігається, причому абсолютно.

в) Заданий ряд вважаємо знакопочережним, де   a_{n}=\frac{2n+1}{n}. Оскільки   \lim_{n\rightarrow \propto }a_{n}=\lim_{n\rightarrow \propto }\frac{2n+1}{n}=2, то не виконується необхідна умова збіжності ряду. Тому він розбігається.

 

 

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Грудень 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Лис    
 12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930
31