Задача 4 (Формула Гріна)

Обчислити інтеграл  I = \int _{L}(x^2+y^2)dx+xdy , застосовуючи формулу Гріна, якщо L – трикутник із вершинами О (0;0), А (1;0), В (0;1).

♦ Маємо Р  = х2 + у2, Q = x,  \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1-2y . За формулою  \int _{L_{D}}Pdx+Qdy=\int _{D}\int (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy дістаємо

 I = \int _{L}(x^2+y^2)dx+xdy=\int _{D}\int (1-2y)dxdy

де область D – трикутник ОАВ. Оскільки рівняння сторони АВ має вигляд х + у = 1, то 

 I = \int _{D}\int (1-2y)dxdy=\int_{0}^{1}{dx}\int_{0}^{1-x}{(1-2y)dy}=\frac{1}{6} .♦

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Червень 2019
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Тра    
 12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930