Задача 4 (Ірраціональні рівняння)

Знайти корені рівнянь:

а)  \sqrt{3x-2}+x=4 ;

б)  \sqrt{x+1}-\sqrt{9-2x}=\sqrt{2x-12} ;

в)  \sqrt{3x+1}+\sqrt{4x-3}=\sqrt{5x+4} .

♦ Ірраціональні рівняння розв’язуються шляхом піднесення обох частин рівняння до степеня. При цьому обов’язково виконувати перевірку або вказувати ОДЗ, щоб не виникало сторонніх коренів.

а)  \sqrt{3x-2}+x=4 ;

ОДЗ: 3x – 2 ≥ 0;

3х ≥ 2;

х ≥  2/3.

Залишимо радикал в лівій частині рівняння, а всі інші доданки перенесемо в праву і виконаємо піднесення до квадрату, пам’ятаючи, що права частина повинна бути більшою або дорівнювати нулю:  

 \sqrt{3x-2}+x=4 ;

 \sqrt{3x-2} = 4-x ;

 \left( \sqrt{3x-2} \right)^{2}= \left( 4-x\right)^{2} , при 4 – х ≥ 0;

 3x-2=16-8x+x^{2} , при х ≤ 4; 

 x^{2}-11x+18=0 , при х ≤ 4; 

x_{1}=2,\; x_{2}=9  .

Обидва корені задовольняють ОДЗ, проте другий корінь не задовольняє умову х ≤ 4. Тому рівняння має один корінь х = 2.

б)  \sqrt{x+1}-\sqrt{9-2x}=\sqrt{2x-12}

ОДЗ:  \sqrt{x+1}-\sqrt{9-2x}=\sqrt{2x-12}
\left\{\begin{matrix} x+1\geq 0,\\ 9-2x\geq 0,\\ 2x-12\geq 0 \end{matrix}\right.\Rightarrow  \left\{\begin{matrix} x\geq -1,\\ x\leq 4,5,\\ x\geq 6 \end{matrix}\right.\Rightarrow x\in \oslash  .

Відповідь: рівняння коренів не має.

в)  \sqrt{3x+1}+\sqrt{4x-3}=\sqrt{5x+4}

ОДЗ:  \left\{\begin{matrix} 3x+1\geq 0,\\ 4x-3\geq 0,\\ 5x+4\geq 0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq -\frac{1}{3},\\ x\geq \frac{3}{4},\\ x\geq \frac{4}{5} \end{matrix}\right.\Rightarrow x\geq \frac{4}{5} .

Піднесемо обидві частини рівняння до квадрата: 

 \left( \sqrt{3x+1}+\sqrt{4x-3}\right)^{2}=\left( \sqrt{5x+4}\right)^{2}

3x+1+2\sqrt{\left(3x+1 \right)\left(4x-3 \right)}+4x-3=5x+4  ;

 7x-2+2\sqrt{\left(3x+1 \right)\left(4x-3 \right)}=5x+4

 2\sqrt{\left(3x+1 \right)\left(4x-3 \right)}=6-2x ;

Піднесемо обидві частини останнього рівняння до квадрата, пам’ятаючи, що 6 – 2х ≥ 0 ⇒ х ≤ 3. 

 \sqrt{\left(3x+1 \right)\left(4x-3 \right)}=3-x ;

 \left(\sqrt{\left(3x+1 \right)\left(4x-3 \right)} \right)^{2}=\left(3-x \right)^{2};

 \left(3x+1 \right)\left(4x-3 \right)=9-6x+x^{2};

12x^{2}-5x-3=9-6x+x^{2};

12x^{2}-5x-3-9+6x-x^{2}=0;

11x^{2}+x-12=0;

 D=1+528=529;

 x_{1}=\frac{-1+23}{22}=1,\; x_{2}=\frac{-1-23}{22}=-\frac{12}{11}.

Другий корінь не задовольняє ОДЗ, а значить, не є коренем заданого рівняння. Тому рівняння має лише один корінь х = 3.♦

Comments are closed.

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Реклама
Календар
Травень 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Кві    
 123456
78910111213
14151617181920
21222324252627
28293031