Задача 4 (Координати точки, координати вектора, напрямні косинуси)

Дано три вершини паралелограма ABCD:  А (2; -1; -3), В (6; 0; -5) та С (4; 5; 1). Знайти координати його четвертої вершини D, вектор   \bar{AD} та напрямні косинуси цього вектора.  

♦ Нехай точка   M (x_{1}; y_{1};z_{1}) – це точка перетину діагоналей паралелограма. Оскільки М є серединою відрізка ВС, то її координати знайдемо за формулами:  x_{1}=\frac{2+4}{2}=3,\; y_{1}=\frac{-1+5}{2}=2,\; z_{1}=\frac{-3+1}{2}=-1  ⇒ М (3; 2; -1).

Точка М є також серединою діагоналі BD, За такими ж формулами визначаємо координати точки D:

  3=\frac{6+x}{2}, \; 2=\frac{0+y}{2},\; -1=\frac{-5+z}{2}\; \Rightarrow x=0,\; y=-4,\; z=3  ⇒ D (0; -4; 3).

Знаходимо вектор   \bar{AD}=(0-2;-4-(-1);3-(-3))=(-2;-3;6)

Щоб знайти напрямні косинуси, необхідно знайти довжину вектора   \bar{AD} :

 \left| \bar{AD} \right|=\sqrt{(-2)^{2}+(-3)^{2}+6^{2}}=7 .

За формулами для обчислення напрямних косинусів маємо:

  cos \alpha = \frac{-2}{7},\; cos\beta =\frac{-3}{7},\; cos\gamma =\frac{6}{7} . ♦

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Грудень 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Лис    
 12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930
31