Задача 4 (Обчислення потоку векторного поля)

Обчислити потік векторного поля  \vec{f}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}  крізь частину сфери x2 + y2 + z2 = 1, розміщеної у першому октанті, в напрямі зовнішньої нормалі.

♦ Оскільки потік векторного поля крізь задану поверхню виражається поверхневим інтегралом   \int _{S}\int=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy , де P = x, Q = y і R = z, то потрібно обчислити інтеграл  \int _{S}\int =xdydz+ydzdx+zdxdy . Розглянемо його як суму трьох інтегралів I = I1 + I2 + I3. Для обчислення I1 спроектуємо задану поверхню на площину YOZ. Дістанемо чверть круга Dyz: y2 + z≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1. Рівняння сфери розв’яжемо відносно змінної х:  x=\sqrt{1-y^{2}-z^{2}} . Тоді 

 I_{1}=\int _{S}\int xdydz=\int _{D_{yz}}\int \sqrt{1-y^{2}-z^{2}}dydz=

 =\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{d\varphi }\int_{0}^{1}{\sqrt{1-\rho ^{2}}\rho d\rho }=\frac{\pi }{6} .

Аналогічно обчислюємо інтеграли I2 та І3, проектуючи спочатку поверхню на площину XOZ і розв’язуючи рівняння поверхні відносно y, а потім на площину XOY та розв’язуючи її рівняння відносно z. Аналогічно попередньому дістанемо  I_{2}=I_{3}=\frac{\pi }{6} . Отже,  \prod{}=I_{1}+I_{2}+I_{3}=3\cdot \frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2} .♦

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Червень 2019
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Тра    
 12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930