Задача 4 (Перша чудова (важлива) границя)

Обчислити границі:

а)   \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{sin\frac{1}{7n}}{\frac{1}{7n}} ;

б)   \lim_{n\rightarrow 0}\frac{sinn^{2}}{\frac{n^{2}}{16}} ;

в)   \lim_{n\rightarrow -0,4}\frac{sin(5n+2)}{10n+4} ;

г)   \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{sin\frac{1}{2n}}{n} .

♦ а) Оскільки  \frac{1}{7n}\rightarrow 0 , то границя є першою чудовою. Тому  \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{sin\frac{1}{7n}}{\frac{1}{7n}}=1 .

б)  \lim_{n\rightarrow 0}\frac{sinn^{2}}{\frac{n^{2}}{16}}=\lim_{n\rightarrow 0}\frac{16sinn^{2}}{n^{2}}=16\lim_{n\rightarrow 0}\frac{sinn^{2}}{n^{2}}=

= 16·1=16 .

в) Винесемо в чисельнику 2 за дужки. Отримаємо:

 \lim_{n\rightarrow -0,4}\frac{sin(5n+2)}{10n+4}=\lim_{n\rightarrow -0,4}\frac{sin(5n+2)}{2(5n+2)}=

 =\frac{1}{2}lim_{n\rightarrow -0,4}\frac{sin(5n+2)}{5n+2}=\frac{1}{2} .

г) Доділимо і домножимо знаменник дробу на 2n, отримаємо: 

 \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{sin\frac{1}{2n}}{n}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{sin\frac{1}{2n}}{2n^{2}\frac{1}{2n}}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{2n^{2}}\cdot 1=0 .♦

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Реклама
Календар
Травень 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Кві    
 123456
78910111213
14151617181920
21222324252627
28293031