Задача 4 (Правило Лопіталя)

Обчислити границі за правилом Лопіталя: 

а)  \lim_{x\rightarrow 1}=\frac{x^{3}-1}{x^{2}+2x-3}

б)   \lim_{x\rightarrow 0}(cosx)^{\frac{1}{x}}

в)  \lim_{x\rightarrow +\propto }x\frac{1}{x} ,

г)  \lim_{x\rightarrow0 +0 }(sinx)^{tgx} .

а) Маємо невизначеність типу 0/0, отже: 

 \lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{3}-1}{x^{2}+2x-3}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{3x^{2}}{2x+2}=\frac{3}{4}

б) Маємо невизначеність типу 1 , отже: 

 \lim_{x\rightarrow 0}(cosx)^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\rightarrow 0}e^{\frac{1}{x}lncosx}=e^{0}=1 ,

так як  \lim_{x\rightarrow 0}\frac{lncosx}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(lncosx)'}{x'}=-\lim_{x\rightarrow 0}tgx=0 .

в) Маємо невизначеність типу ∞0, отже:  

 \lim_{x\rightarrow +\propto }x\frac{1}{x}=e^{\lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{1}{x}lnx}=1

так як   \lim_{x\rightarrow +\propto}\frac{lnx}{x}=\lim_{x\rightarrow +\propto}\frac{(lnx)'}{x'}=\lim_{x\rightarrow +\propto}\frac{1}{x}=0 .

г) Маємо невизначеність типу 00, отже:  

\lim_{x\rightarrow0 +0 }(sinx)^{tgx}=\lim_{x\rightarrow0 +0 }e^{tgxlnsinx}=e^{0}=1 ,

так як  \lim_{x\rightarrow0 +0 }(tgxlnsinx)=\lim_{x\rightarrow0 +0 }\frac{lnsinx}{ctgx}=

=\lim_{x\rightarrow0 +0 }\frac{(lnsinx)'}{(ctgx)'}=-\lim_{x\rightarrow0 +0 }cosxsinx=0 .♦

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Жовтень 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Вер    
1234567
891011121314
15161718192021
22232425262728
293031