Задача 4 (Проекція точки на пряму, відстань від точки до прямої)

Знайти проекцію точки А (-1; 5; -2) на пряму  \frac{x+4}{3}=\frac{y-7}{4}=\frac{z+1}{-2} . Обчислити відстань від цієї точки до даної прямої.

♦Знайдемо проекцію А1 точки  А (-1; 5; -2) на задану пряму. 

Запишемо спочатку рівняння площини, що проходить через точку А та перпендикулярна до цієї прямої. Вектор  \bar{a}=(3;4;-2) є направляючим вектором цієї прямої, а значить він буде перпендикулярний до площини. Тому рівняння площини можемо записати наступним чином:

 3(x+1)+4(y-5)-2(z-2)=0  ⇔ 3x+3+4y-20-2z+4=0  ⇔  3x+4y-2z-13=0 .

 Тепер запишемо рівняння заданої прямої в параметричному вигляді:

 \frac{x+4}{3}=\frac{y-7}{4}=\frac{z+1}{-2}\Leftrightarrow x=3t+4,\; y=4t+7;\; z=2t-1 .

Підставивши вирази x, y, z у рівняння площини, отримаємо точку перетину прямої з площиною:

  3(3t-4)+4(4t+7)-2(2t-1)-13=0\Leftrightarrow 9t-12+16t+28-4t+2-13=0\Leftrightarrow 21t+3=0\Leftrightarrow .

З рівняння прямої при  t=-\frac{1}{7} дістанемо координати точки А1:

 A_{1}: x=-\frac{3}{7}-4=-\frac{31}{7},\; y=\frac{4}{7}+7\frac{53}{7},\; z=-\frac{2}{7}-1=-\frac{9}{7} .

Отже, A_{1}(-\frac{31}{7};\frac{53}{7};-\frac{9}{7}) – проекція точка А на задану пряму.

Визначимо відстань від точки А до прямої.  Це і буде відстань між точками А та А1:

  AA_{1}=\sqrt{(-1+\frac{37}{7})^{2}+(5-\frac{53}{7})^{2}+(-2+\frac{9}{7})^{2}}=\sqrt{(\frac{24}{7})^{2}+(\frac{18}{7})^{2}+(-\frac{5}{7})^{2}}= 

 =\sqrt{\frac{576+324+25}{49}}=\frac{\sqrt{925}}{7}=\frac{5\sqrt{37}}{7} .♦

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Грудень 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Лис    
 12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930
31