Задача 4 (Скласти закон розподілу)

У прибиральниці є зв’язка з чотирьох ключів, серед яких лише один відчиняє двері офісу. У темряві вона намагається потрапити до офісу. Скласти закон розподілу числа спроб при відчиненні дверей, якщо прибиральниця:

а) відкладає випробуваний ключ;

б) повретає його у зв’язку.

♦ а) Нехай Х – випадкова величина, що визначає число спроб при відчиненні дверей. Оскільки у зв’язці є 4 ключі, то Х може набувати значень 1, 2, 3, 4. Якщо перший взятий ключ відчинить двері, то Х = 1, причому Р(Х = 1) = 1/4. Якщо перший ключ не підходить (таких клячів є три з чотирьох), то його відкладають. Якщо при цьому другий ключ підходить (один із трьох ключів, що лишилися), то число спроб дорівнює двом. У цьому випадку  P(X=2) =\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{4} . Аналогічно дістаємо:  P(X=3) =\frac{3}{4}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}  P(X=4) =\frac{3}{4}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot 1=\frac{1}{4} . Отже, закон розподілу Х має вигляд: 

б) Нехай випробувані ключі повертаються у зв’язку. Тоді кожну спрбу відчинити двері можна розглядати як незалежне випробування, в якому ймовірність успіху p = 1 / 4, а ймовірність невдачі q = 3 / 4. Очевидно,  P(X=1)=p=\frac{1}{4},\; P(X=2)=q\cdot p=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4}, P(X=3)=q^{2}\cdot p=(\frac{3}{4})^{2}\cdot \frac{1}{4},...,  P(X=k)=q^{k}\cdot p=(\frac{3}{4})^{k-1}\cdot \frac{1}{4},... .

Отже, закон розподілу величини Х у цьому випадку є геометричним: 

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Червень 2019
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Тра    
 12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930