Задача 4 (Задача Коші)

Розв’язати задачу Коші  y''-y'=t^{2},\; y(0)=0,\; y'(0)=1 .

Нехай y(t) – шуканий частинний розв’язок, Y(p) – його зображення. По таблиці відповідностей:  f(t)=t^{2}:\; t^{2}\leftrightarrow \frac{2}{p^{3}} і запишемо операторне рівняння, враховуючи що:

 y'(t)=pY(p)-0=pY(p);

 y''(t)=p^{2}Y(p)-p\cdot 0-1=p^{2}Y(p)-1.

 \left[p^{2}Y(p)-1 \right]-pY(p)=\frac{2}{p^{3}}.

Знаходимо Y(p):

 (p^{2}-p)Y(p)-1=\frac{2}{p^{3}};

 p(p-1)Y(p)=\frac{2}{p^{3}}+1;

 Y(p)=\frac{2+p^{3}}{p^{3}(p(p-1))}=\frac{2}{p^{4}(p-1)}+\frac{1}{p(p-1)}.

Розкладемо праву частину на елементарні дроби:

 \frac{2}{p^{4}(p-1)}=\frac{A}{p}+\frac{B}{p^{2}}+\frac{C}{p^{3}}+\frac{D}{p^{4}}+\frac{E}{p-1}=

 =\frac{Ap^{3}(p-1)+Bp^{2}(p-1)+Cp(p-1)+D(p-1)+Ep^{4}}{p^{4}(p-1)}.

 Ap^{3}(p-1)+Bp^{2}(p-1)+Cp(p-1)+D(p-1)+Ep^{4}=2;

 p^{4}:\; A+E=0;\; E=2,

 p^{3}:\; -A+B=0;\; A=-2,

 p^{2}:\; -B+C=0;\; B=-2,

 p:\; -C+D=0;\; C=-2,

 1:\; -D=2;\; D=-2.

Тобто:

 \frac{2}{p^{4}(p-1)}=-\frac{2}{p}-\frac{2}{p^{2}}-\frac{2}{p^{3}}-\frac{2}{p^{4}}+\frac{2}{p-1},

 \frac{1}{p(p-1)}=\frac{A}{p}+\frac{B}{p-1}=\frac{Ap-A+Bp}{p(p-1)},

 A+B=0,\; A=-1,

 -A=1;\; B=1.

 \frac{1}{p(p-1)}=-\frac{1}{p}+\frac{1}{p-1}.

 Y(p)=-\frac{2}{p}-\frac{2}{p^{2}}-\frac{2}{p^{3}}-\frac{2}{p^{4}}+\frac{2}{p-1}-\frac{1}{p}+\frac{1}{p-1}=

 =-\frac{3}{p}+\frac{3}{p-1}-\frac{2}{p^{2}}-\frac{2}{p^{3}}-\frac{2}{p^{4}}.

Використовуючи таблицю відповідностей, знаходимо:

 Y(p)\leftrightarrow -3+3e^{t}-2t-t^{2}-\frac{1}{3}t^{3}.

Отже, шуканий частинний розв’язок:

 y(t)=-3+3e^{t}-2t-t^{2}-\frac{1}{3}t^{3}.

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitasсчетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Реклама