Задача 5 (Границя функції)

Обчислити границі функцій:

а)  \lim_{x\rightarrow -1}\frac{x^{2}+3x-2}{x+4} ;

б)  \lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}-4}{x^{2}+x-6} ;

в)  \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^{3}-2x^{2}+3x-6}{5x^{3}+3x^{2}-4x+2} ;

г)  \lim_{x\rightarrow 4}\frac{4-x}{2-\sqrt{x}} .

♦ а) Підставимо число -1 замість х та обчислимо значення границі:

 \lim_{x\rightarrow -1}\frac{x^{2}+3x-2}{x+4} = \frac{(-1)^{2}+3\cdot (-1)-2}{-1+4}=

 =\frac{1-3-2}{3}=-\frac{4}{3}=-1\frac{1}{3} ;

б) При підстановці числа 2 замість х отримуємо невизначеність виду 0/0. Тому розкладемо на множники чисельник та знаменник дробу і скоротимо дріб.

 \lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}-4}{x^{2}+x-6}=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+3)}=

=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x+2}{x+3}=\frac{2+2}{2+3}=\frac{4}{5}  ;

в) Маємо невизначеність ∞/∞ . Винесемо найстарші степені чисельника та знаменника за дужки і скоротимо їх. Отримаємо:

  \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^{3}-2x^{2}+3x-6}{5x^{3}+3x^{2}-4x+2}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^{3}(1-\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}}-\frac{6}{x^{3}})}{x^{3}(5+\frac{3}{x}-\frac{4}{x^{2}}+\frac{2}{x^{3}})}=

 =\frac{1-0+0-0}{5+0-0+0}=\frac{1}{5} ;

г) Маємо невизначеність 0/0. Позбудемось ірраціональності в знаменнику дробу – домножимо чисельник і знаменник на спряжений вираз до знаменника:

 \lim_{x\rightarrow 4}\frac{4-x}{2-\sqrt{x}}=\lim_{x\rightarrow 4}\frac{\left( 4-x\right)\left(2+\sqrt{x} \right)}{\left( 2-\sqrt{x}\right)\left(2+\sqrt{x} \right)}=

 =\lim_{x\rightarrow 4}\frac{\left( 4-x\right)\left(2+\sqrt{x} \right)}{4-x}=\lim_{x\rightarrow 4}(2+\sqrt{x})=2+\sqrt{4}=2+2=4 .♦

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Реклама
Календар
Серпень 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Лип    
 12345
6789101112
13141516171819
20212223242526
2728293031