Задача 5 (Об’єм і площа поверхні тіла обертання)

Трикутник, одна сторона якого дорівнює с, а прилеглі кути α і β, обертається навколо даної сторони. Знайти об’єм і площу поверхні тіла обертання. 

♦ Нехай V1 i S1 – об’єм і площа бічної поверхні верхнього конуса; 

V2 i S2 – об’єм і площа бічної поверхні нижнього конуса. 

 V_{1}=\frac{1}{3}\pi \cdot CO^{2}\cdot AO ;

 V_{2}=\frac{1}{3}\pi \cdot CO^{2}\cdot BO ;

 V=V_{1}+V_{2}=\frac{1}{3}\pi CO^{2}(AO+BO)=\frac{1}{3}\pi CO^{2}\cdot AB ;

 S_{1}=\pi CO\cdot AC ;

 S_{2}=\pi CO\cdot BC ;

 S=S_{1}+S_{2}=\pi CO(AC+BC) .

За теоремою синусів маємо:  \frac{AC}{sin\beta }=\frac{BC}{sin\alpha }=\frac{AB}{sin(180^{0}-(\alpha +\beta ))};

 \frac{AC}{sin\beta } = \frac{BC}{sin\alpha }= \frac{AB}{sin (\alpha +\beta )} ;

 AC=\frac{c\cdot sin\beta }{sin(\alpha +\beta )}; BC=\frac{c\cdot sin\alpha }{sin(\alpha +\beta )} .

Із Δ АОС (∠О = 90о):  CO=AC\cdot sin\alpha =\frac{c\cdot sin\beta \cdot sin\alpha }{sin(\alpha +\beta )} .

Отже,  V=\frac{1}{3}\pi \frac{c^{2}sin^{2}\beta \cdot sin^{2}\alpha }{sin^{2}(\alpha +\beta )}=\frac{1}{3}\pi \frac{c^{3}sin^{2}\beta sin^{2}\alpha }{sin^{2}(\alpha +\beta )} ;

 S=\pi \frac{c^{3}sin\beta sin\alpha }{sin(\alpha +\beta )}\left(\frac{csin\beta }{sin(\alpha +\beta )} +\frac{csin\alpha }{sin(\alpha +\beta )}\right)=

 =\pi \frac{csin\beta sin\alpha }{sin(\alpha +\beta )}\cdot \frac{c(sin\alpha +sin\beta )}{sin(\alpha +\beta )}=

 =\pi \frac{c^{2}sin\alpha sin\beta }{sin^{2}(\alpha +\beta )}(sin\alpha +sin\beta ) .♦

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Листопад 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Жов    
 1234
567891011
12131415161718
19202122232425
2627282930