Задача 5 (Оцінка значення тригонометричного виразу)

Знайти найбільше та найменше значення виразу

3sinx + cos x.

♦ Нехай 3sinx + cos x = А.  Поділимо ліву й праву частину даної рівності на  \sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10}  \frac{3}{\sqrt{10}}sinx+\frac{1}{\sqrt{10}}cosx=\frac{A}{\sqrt{10}} . Оскільки  \left(\frac{3}{\sqrt{10}} \right)^{2}+\left(\frac{1}{\sqrt{10}} \right)^{2}=\frac{9}{10}+\frac{1}{10}=\frac{10}{10}=1, то знайдеться такий кут φ, коли  cos\varphi =\frac{3}{\sqrt{10}} і  sin\varphi =\frac{1}{\sqrt{10}}  sinx\cdot cos\varphi +sin\varphi \cdot cosx=\frac{A}{\sqrt{10}}  sin(x+\varphi )=\frac{A}{\sqrt{10}}  A=\sqrt{10}sin(x+\varphi ) . Отже,  -\sqrt{10}\leq A\leq \sqrt{10}  -\sqrt{10}\leq 3sinx+cosx\leq \sqrt{10} . ♦

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Реклама
Календар
Серпень 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Лип    
 12345
6789101112
13141516171819
20212223242526
2728293031