Задача 4 (Рівняння конічної поверхні)

Скласти рівняння конічної поверхні, вершиною якої є точка К (0; 1; 2), а напрямною є крива  \left\{\begin{matrix} \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1,\\ z-1=0 \end{matrix}\right.

Знаючи вершину конуса К (0; 1; 2), можемо скласти рівняння довільної його твірної – прямої, що проходить через точку К:  \frac{x}{l}=\frac{y-1}{m}=\frac{z-2}{1},  де l i m – змінні параметри, залежність між якими знайдемо із системи рівнянь (умови перетину твірної та напрямної):

  \left\{\begin{matrix} \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1,\\ z-1=0,\\ \frac{x}{l}=\frac{y-1}{m}=\frac{z-2}{1}. \end{matrix}\right.

Виключимо із системи змінні x, y, z, розглянувши друге і третє рівняння системи:

   \frac{x}{l}=z-2,\; z=1\; \Rightarrow x=-l;\; \frac{y-1}{m}=z-2,\; z=1\; \Rightarrow y=-m+l.

Підставивши значення х та у у перше рівняння системи, дістанемо

 \frac{l^{2}}{4}+\frac{(-m+1)^{2}}{3}=1 або  3l^{2}+4m^{2}-8m-8=0 .

Нехай М (х; у; z) – біжуча точка конічної поверхні. Тоді, ця точка лежить на деякій твірній. Виразимо  l i m через біжучі координати поверхні x, y, z:

 \frac{x}{l}=z-2\; \Rightarrow \; l=\frac{x}{z-2},\; \frac{y-1}{m}=z-2\; \Rightarrow\; m=\frac{y-1}{z-2}.

Підставимо ці значення в рівняння  3l^{2}+4m^{2}-8m-8=0 і отримаємо:

 3\left(\frac{x}{z-2} \right)^{2}+4\left(\frac{y-1}{z-2} \right)^{2}-8\left(\frac{y-1}{z-2} \right)-8=0,

звідки і отримаємо рівняння конічної поверхні:

 3x^{2}+4y^{2}-8z^{2}-8yz+8y+40z-44=0 .♦

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Жовтень 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Вер    
1234567
891011121314
15161718192021
22232425262728
293031