Задача 5 (Розвинення функції в ряд Тейлора)

Розвинути в ряд Тейлора за степенями   x-\frac{\pi }{2} функцію  

 f(x)=sin x .

♦ Користуючись формулою   (sinx)^{(n)}=sin(x+n\cdot \frac{\pi }{2}) , обчислюємо значення функції та похідних у точці   \frac{\pi }{2} . Маємо:

  f(\frac{\pi }{2})=1,\; f'(\frac{\pi }{2})=0,\; f''(\frac{\pi }{2})=-1,\;

  f^{(2n+1)}(\frac{\pi }{2})=0,\; f^{(2n)}(\frac{\pi }{2})=(-1)^{(n)},n\in N_{0} .

Оскільки   \left|f^{(n)}(x) \right|=\left|sin(x+n\cdot \frac{\pi }{2}) \right|\leq 1 , то згідно з достатньою умовою розвинення функції в ряд Тейлора, дістаємо: 

 sinx=1-\frac{1}{2!}(x-\frac{\pi }{2})^{2}+\frac{1}{4!}(x-\frac{\pi }{2})^{4}-

 -...+(-1)^{n}\frac{1}{(2n)!}(x-\frac{\pi }{2})^{2n}+... .

 

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Грудень 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Лис    
 12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930
31