Задача 5 (Розв’язування диференціальних рівнянь)

Розв’язати наступні диференціальні рівняння

а) хy dx + x3 dy = 0;

б) xy’ -1 = xy,  у(1/2) = 1;

в) хуу’ = x2 + y2, y(1) = √2;

г)  (sin xy + xy cos xy) dx + x2 cos xy dy = 0.

♦ а) У заданому рівнянні можна відокремити змінні, поділивши його на x3 y ≠ 0.  Дістанемо  \frac{dx}{x}+\frac{dy}{y}=0  . Інтегруючи почленно, маємо загальний інтеграл  \int \frac{dx}{x}+\int \frac{dy}{y}=C_{1}\Leftrightarrow ln|x| +ln|y|=ln|C|, \; C\neq 0   (тут для зручності сталу інтегрування С записано в логарифмічній формі). Після потенціювання дістаємо xy = C або у = С / х. Через те, що функції х = 0 та у = 0 також задовольняють задане рівняння, вони теж є його розв’язками. При цьому їх можна дістати із загального інтеграла ху = С,  коли С = 0 (тому можна зняти обмеження на С у формулі ху = С). 

б) Тут треба розв’язати  задачу Коші. Маємо лінійне рівняння, бо у і у‘ входять до нього у першому степені. Покладаючи y = uv, знаходимо y’ = u’v + v’u. Підставляючи y i y‘ в задане рівняння, дістаємо  u'v+v'u-\frac{uv}{x}=\frac{1}{x^{2}} або  u'v+u('v'-\frac{v}{x})=\frac{1}{x^{2}} . Оскільки одну з функцій можна обрати довільно, то виберемо таку функцію v, щоб вираз у дужках дорівнював нулю:  v'-\frac{v}{x}=0 . Тоді для визначення u матимемо рівняння  u'v=\frac{1}{x^{2}} . Помічаємо, що обидва рівняння (для визначення v і для визначення u) є рівняннями з відокремлюваними змінними.

Визначаємо v:

 v'-\frac{v}{x}=0\Leftrightarrow \frac{dv}{v}=\frac{dx}{x}\Rightarrow lnv=lnx\Leftrightarrow v=x

(ми взяли найпростіший, відмінний від нуля, частинний розв’язок).

Тепер, підставивши значення v у друге рівняння, визначаємо u як загальний розв’язок цього рівняння

 u'x=\frac{1}{x^{2}}\Rightarrow du=\frac{dx}{x^{3}}\Leftrightarrow u=-\frac{1}{2}x^{2}+C

Знаючи u i v, знаходимо загальний розв’язок заданого рівняння:  y=Cx-\frac{1}{2x} .

Для відшукання вказаного частинного розв’язку підставимо задані значення змінних  x=\frac{1}{2} \; i\; y=1 (початкові умови) в останнє рівняння, звідки знайдемо значення довільної сталої  1=\frac{1}{2}C-1\Rightarrow C=4 . Отже, шуканий частинний розв’язок  y=4x-\frac{1}{2x}

в) Запишемо рівняння у вигляді  y'=\frac{x}{y}+\frac{y}{x} . Помічаємо, що воно є однорідним. Покладаючи 

 u=\frac{y}{x} , знайдемо y = ux і y’ = u’x + u. Після цієї заміни наше рівняння стане таким:

 u'x+u=\frac{1}{u}+u або  u'x=\frac{1}{u} . Відокремлюючи змінні, дістаємо, враховуючи, що u ≠ 0:  \frac{du}{dx}\cdot x=\frac{1}{u}\Leftrightarrow udu=\frac{dx}{x}\Leftrightarrow \frac{u^{2}}{2}=

 =ln|Cx|,\; C\neq 0\Leftrightarrow u^{2}=2ln|Cx|,\; C\neq 0 . Повертаючись до змінної y, знаходимо загальний інтеграл рівняння y= 2xln|Cx|, C≠0. Підставляючи значення х = 1 і у = √2 в останнє рівняння, дістаємо 2 = 2ln |C|, C = ±e. Отже, шуканий частинний розв’язок має вигляд y2 = 2x2 ln |ex|.

г) Дане рівняння є рівнянням у повних диференціалах , бо P’y(x;y) = Q’x(x;y) = 2x cos xy – x2ysin xy ∀ (x; y) ∈ R2. Його загальний інтеграл обчислюємо за формулою 

\int_{x_{0}}^{x}{P(x_{0},y_{0})dx}+\int_{y_{0}}^{y}{Q(x_{0},y_{0})dy}=C  , де 0; у0) – довільна точка з R2. Покладемо 0; у0) = (0; 0). Тоді загальний інтеграл даного рівняння матиме вигляд:

 \int_{x_{0}}^{x}{(sin(xy_{0})+xy_{0}cos(xy_{0}))dx}+\int_{y_{0}}^{y}{x^{2}cos xy\; dy}=C\Leftrightarrow

 \Leftrightarrow 0+\int_{y_{0}}^{y}{x^{2}cos xy\; dy}=C\Leftrightarrow x^{2}\cdot \frac{1}{x}sinxy|_{0}^{y}=C\Leftrightarrow

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\Leftrightarrowxsinxy=C 

*** Error message:
Undefined control sequence \Leftrightarrowxsinxy.
leading text: $\Leftrightarrowxsinxy

. ♦

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Червень 2019
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Тра    
 12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930