Задача 5 (Скласти закони розподілу суми, різниці та добутку випадкових величин)

Задано незалежні випадкові величини X i Y з відповідними законами розподілу ймовірностей (-1; 1/2), (1; 1/2) і (-2; 1/2), (2; 1/2). Скласти закони розподілу ймовірностей випадкових величин X + Y, X – Y, XY. 

♦ Можливі значення суми X + Y, ріхниці X – Y і добутку  XYмістяться відповідно серед значень вигляду xi + yk, xi – yk, xi · yk, i, k = 1, 2, x∈ X, yk ∈ Y.
При цьому вони набувають цих значень з імовірностями pi,k = P (X = xi ∩ Y = yk) = P (X = xi) · P (Y = yk), оскільки X і Y – незалежні випадкові величини.

Знайдемо закон розподілу ймовірностей випадкової величини Z = X + Y. Оскільки, zi,k = xi + yk, то z11 = -1 – 2 = -3, z12 = -1 + 2 = 1, z21 = 1 – 2 = -1, z22 = 1 + 2 = 3, причому p11 = p12 = p21 = p22 = 1/4 (тобто маємо рівномірний розподіл). Тому дістаємо такий розподіл ймовірностей випадкової величини Z = X + Y: (-3; 1/4), ( -1; 1/4), ( 1; 1/4), (3; 1/4).

Для випадкової величини R = X – Y аналогічно дістаємо такий закон розподілу: (1 ; 1/4), ( -3; 1/4), ( 3; 1/4), (-1; 1/4).

І нарешті, для W = XY маємо: ω11 = (-1)(-2) = 2, ω12 = (-1) · 2 = – 2, ω21 = 1 · (-2) = – 2, причому всіх цих значеньвипадкова величина W набуває з однаковою ймовірністю р = 1/4. Значення -2 вона набуває у двох випадках (ω12 і ω21). Оскільки ці випадки є несумісними подіями, то за властивістю ймовірності P (W = – 2) = 1/4 + 1/4 = 1/2. Аналогічно визначаємо, що P (W = 2) = 1/2. Тому закон розподілу для W = XY такий: (-2; 1/2)б (2; 1/2). ♦

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Червень 2019
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Тра    
 12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930