Задача 5 (Використання формули Остроградського – Гаусса)

Користуючись формулою Остроградського – Гаусса, обчислити потік векторного поля  \vec{f}= x^{2}\vec{i}+y^{2}\vec{j}+z^{2}\vec{k} крізь повну поверхню конуса  z=1-\sqrt{x^{2}+y^{2}},\; z=0 ю

♦ Знайдемо дивергенцію векторного поля 

 div\vec{f}=\frac{\partial }{\partial x}(x^{2})+\frac{\partial }{\partial y}(y^{2})+\frac{\partial }{\partial z}(z^{2})=2(x+y+z) .

Тоді за формулою  \prod{}=\int \int _{T}\int div\vec{f}dxdydz , яка випливає з формули Остроградського – Гаусса, обчислюємо потік заданого поля: 

 \prod{}=\int \int _{T}\int div\vec{f}dxdydz=2\int \int _{T}\int (x+y+z)dxdydz=

 =2\int_{0}^{2\pi }{d\varphi }\int_{0}^{1}{\rho d\rho }\int_{0}^{1-\rho }{(\rho cos\varphi +\rho sin\varphi +z)dz}=\frac{\pi }{3} .♦

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Червень 2019
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Тра    
 12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930