Задача 5 (Внутрішній кут трикутника, довжина висоти, площа трикутника у координатній формі)

Задано трикутник АВС координатами його вершин А (10; -4; 6), В (-6; 2; 16), С (-2; -10; 10). Знайти внутрішній кут трикутника при вершині А, довжину висоти СН та обчислити його площу. 

♦ Внутрішній кут трикутника ∠А будемо шукати як кут між векторами   \bar{AB} та   \bar{AC} .

 cos ∠A =  \frac{\bar{AB}\cdot \bar{AC}}{\left|\bar{AB} \right|\left|\bar{AC} \right|}

 \bar{AB}=(-16;6;10) ,

 \bar{AC}=(-12;-6;4) ,

 \left|\bar{AB} \right|=\sqrt{(-16)^{2}+6^{2}+10^{2}}=14\sqrt{2} ,

  \left|\bar{AC} \right|=\sqrt{(-12)^{2}+(-6)^{2}+4^{2}}=14 ,

  \frac{\bar{AB}\cdot \bar{AC}}{\left|\bar{AB} \right|\left|\bar{AC} \right|}=\frac{-16\cdot (-12)+6\cdot (-6)+10\cdot 4}{14\sqrt{2}\cdot 14}=\frac{196}{196\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}} .

Отже, cos ∠A =   \frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow   ∠A = 45о.

Знайдемо площу трикутника АВС  за формулою:

  S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\left|\bar{AB} \right|\cdot \left|\bar{AC} \right|sin<A = \frac{1}{2}\cdot 14\sqrt{2}\cdot 14\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=24.5 (кв. од.)

З іншого боку: S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB \cdot CH . Тому:  CH = \frac{2S_{\Delta ABC}}{AB}=\frac{196}{14\sqrt{2}}=7\sqrt{2} (од.) ♦

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Жовтень 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Вер    
1234567
891011121314
15161718192021
22232425262728
293031