Задача 5 (Збіжність, інтервал збіжності та сума степеневого ряду)

Дослідити ряд на збіжність  \sum_{n=1}^{\propto }{n^{2}3^{n}(x-3)^{2n-1}} . Знайти інтервал збіжності цього ряду та його суму.

♦  a_{n}=n^{2}\cdot 3^{n}

  a_{n+1}=(n+1)^{2}\cdot 3^{n+1}  .

За ознакою Д’Аламбера: 

 R=\lim_{n\rightarrow \propto }\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}} \right|=\lim_{n\rightarrow \propto \frac{n^{2}\cdot 3^{n}}{(n+1)^{2}\cdot 3^{n+1}}}=

 =\lim_{n\rightarrow \propto }\frac{n^{2}\cdot 3^{n}}{(n+1)^{2}\cdot 3^{n}\cdot 3}=\lim_{n\rightarrow \propto }\frac{n^{2}}{3\left(n^{2}+2n+1 \right)}=

 =\lim_{n\rightarrow \propto }\frac{n^{2}}{3n^{2}+6n+3}=\lim_{n\rightarrow \propto }\frac{n^{2}}{n^{2}\left(3+\frac{6}{n}+\frac{1}{n^{2}} \right)}=

 =\lim_{n\rightarrow \propto }\frac{1}{3}=\frac{1}{3} .

Інтервал збіжності ряду знайдемо з подвійної нерівності: 

 -\frac{1}{3}<x-3<\frac{1}{3}

 -\frac{1}{3}+3<x<\frac{1}{3}+3

  2\frac{2}{3}<x<3\frac{1}{3} .

Отже, інтервал збіжності заданого ряду  \left(2\frac{2}{3};3\frac{1}{3} \right) .

Проінтегруємо заданий ряд по змінній х: 

 \int \sum_{n=1}^{\propto }{n^{2}\cdot 3^{n}\left(x-3 \right)^{2n-1}}dx=

 =\sum_{n=1}^{\propto }{\frac{n^{2}\cdot 3^{n}}{2n}\left(x-3 \right)^{2n}}=

 =\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\propto }{n\cdot 3^{n}\left(x-3 \right)^{2n}} .

Запишемо отриманий ряд у вигляді: 

 \frac{1}{2}\left(x-3 \right)\sum_{n=1}^{\propto }{n\cdot 3^{n}\left(x-3 \right)^{2n-1}}  (1).

Проінтегруємо ще раз останній ряд за змінною х: 

 \int \sum_{n=1}^{\propto }{n\cdot 3^{n}\left(x-3 \right)^{2n-1}}dx=

 =\sum_{n=1}^{\propto }{\frac{n\cdot 3^{n}\left(x-3 \right)^{2n}}{2n}}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\propto }{3^{n}\left(x-3 \right)^{2n}} (2) 

 \sum_{n=1}^{\propto }{3^{n}\left(x-3 \right)^{2n}}=3\left(x-3 \right)^{2}+3^{2}\left(x-3 \right)^{4}+3^{3}\left(x-3 \right)^{6}+...  .

Маємо геометричний ряд з  b_{1}=3\left(x-3 \right)^{2}   та  q=3\left(x-3 \right)^{2}=\frac{1}{3}<1 .

Тому  S(x)=\frac{b_{1}}{1-q}=\frac{3\left(x-3 \right)^{2}}{1-3\left(x-3 \right)^{2}} .

Враховуючи записи (1) та (2), отримаємо: 

 S(x)=\frac{1}{2}\left(x-3 \right)\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{3\left(x-3 \right)^{2}}{1-3\left(x-3 \right)^{2}}=

 =\frac{1}{4}\frac{3\left(x-3 \right)^{3}}{1-3\left(x-3 \right)^{2}}=\frac{3\left(x-3 \right)^{3}}{4-12\left(x-3 \right)^{2}} .♦

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Грудень 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Лис    
 12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930
31