Задача 5 (Зміна порядку інтегрування)

Змінити порядок інтегрування у повторному інтегралі  \int_{0}^{1}{dx}\int_{x^{2}}^{2-x}{f(x;y)dy} .

♦ Маємо повторний інтеграл, записаний за формулою

 \int _{D}\int f(x;y)dxdy=\int_{a}^{b}{dx}\int_{\varphi _{1}(x)}^{\varphi _{2}(x)}{f(x;y)dy}=

=\int_{a}^{b}{(\int_{\varphi _{1}(x)}^{\varphi _{2}(x)}{f(x;y)dy} )dx}. Якщо функція f неперервна у заданій області D, то можна змінити порядок інтегрування і записати повторний інтеграл за формулою

\int _{D}\int f(x;y)dxdy=\int_{c}^{d}{dy}\int_{\psi _{1}(y)}^{\psi _{2}(y)}{f(x;y)dx}=

  =\int_{c}^{d}{(\int_{\psi  _{1}(y)}^{\psi  _{2}(y)}{f(x;y)dx} )dy} . Будуємо область D, враховуючи межі інтегрування. Вона обмежена лініями y = y1(x) = x2

y = y2(x) = 2 – x, x = 0, x = 1. 

Зліва область D  обмежена прямою x= 0, а справа – кривою 

 x_{2}(y)=\left\{\begin{matrix} \sqrt{y},\; 0<1\leq 1,\\ 2-y,\; 1<y\leq 2. \end{matrix}\right.

Тому маємо 

 \int_{0}^{1}{dx}\int_{x^{2}}^{2-x}{f(x;y)dy}=

=\int_{0}^{1}{dy}\int_{0}^{\sqrt{y}}{f(x;y)dy}+\int_{1}^{2}{dy}\int_{0}^{2-y}{f(x;y)dx} .♦

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Реклама
Календар
Липень 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Кві    
 1
2345678
9101112131415
16171819202122
23242526272829
3031