Задача 5 (Знаходження оригіналу зображення)

Знайти оригінал зображення
 F(p)=\frac{p}{(p+1)(p^{2}+p+1)}-\frac{e^{-p}}{p-2} .

 F(p)=\frac{p}{(p+1)(p^{2}+p+1)}-\frac{e^{-p}}{p-2} .

Перший дріб розкладемо на елементарні дроби:

 \frac{p}{(p+1)(p^{2}+p+1)}=\frac{A}{p+1}+\frac{Bp+C}{p^{2}+p+1}=

 =\frac{Ap^{2}+Ap+A+Bp^{2}+Bp+Cp+C}{(p+1)(p^{2}+p+1)} .

 \begin{matrix} p^{2}:\; A+B=0;\\  p:\; A+B+C=1;\\  1:\; A+C=0, \end{matrix}\Rightarrow \begin{cases} B=1,   \\  C=1,  \\  A=-1.  \end{cases}

 \frac{p}{(p+1)(p^{2}+p+1)}=-\frac{1}{p+1}+\frac{p+1}{p^{2}+p+1},

 \frac{p+1}{p^{2}+p+1}=\frac{p+1}{\left(p^{2}+2\cdot \frac{1}{2}p+\frac{1}{4} \right)-\frac{1}{4}+1}=

 =\frac{p+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}{\left(p+\frac{1}{2} \right)^{2}+\frac{3}{4}}=

 =\frac{p-\left(-\frac{1}{2} \right)}{\left(p-\left(-\frac{1}{2} \right) \right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^{2}}+\frac{\frac{1}{2}}{\left(p-\left(-\frac{1}{2} \right)\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^{2}},

 \frac{p}{(p+1)(p^{2}+p+1)}\rightarrow -e^{-\frac{1}{2}t}+e^{-\frac{1}{2}t}cos\frac{\sqrt{3}}{2}t+\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}e^{-\frac{1}{2}t}sin\frac{\sqrt{3}}{2}t=

 =\left(\frac{1}{\sqrt{3}}- 1\right)e^{-\frac{t}{2}}+\left(cos\frac{\sqrt{3}}{2}t+\frac{1}{\sqrt{3}}sin\frac{\sqrt{3}}{2}t \right)e^{-\frac{t}{2}}=

 =\left(\frac{1}{\sqrt{3}}-1 +cos\frac{\sqrt{3}}{2}t+\frac{1}{\sqrt{3}}sin\frac{\sqrt{3}}{2}t\right)e^{-\frac{t}{2}}.

За теоремою про запізнення оригіналу:

 \frac{e^{-p}}{p-2}=e^{-1\cdot p}\frac{1}{p-2}\rightarrow \eta \left(t-1 \right)e^{2(t-1)}.

Тобто:

 f(t)=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}-1+cos\frac{\sqrt{3}}{2}t+\frac{1}{\sqrt{3}}sin\frac{\sqrt{3}}{2}t \right)e^{-\frac{t}{2}}-\eta (t-1)e^{2(t-1)}.

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitasсчетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Реклама