Задача 6 (Диференціальне рівняння другого порядку)

Розв’язати диференціальне рівняння  y''-4y'+4y=xe^{2x} .

♦ Складемо характеристичне рівняння:

 k^{2}-4k+4=0,

 \left(k-2 \right)^{2}=0\Rightarrow k_{1,2}=2.

Загальний розв’язок має вигляд:

 y(x)=C_{1}xe^{2x}+C_{2}e^{2x}. .

Частинний розв’язок  y_{*}(x) неоднорідного диференціального рівняння шукаємо у вигляді:  y_{*}=Ax^{2}e^{2x}.

 y_{*}'=A\left(2xe^{2x}+x^{2}\cdot 2e^{2x} \right)=2A\left(xe^{2x}+x^{2}e^{2x} \right);

 y_{*}''=2A\left(e^{2x}+2xe^{2x}+2xe^{2x}+2x^{2}e^{2x} \right)=

 =2A\left(e^{2x}+4xe^{2x}+2x^{2}e^{2x} \right).

Підставимо значення  y_{*}'' ,  y_{*}' та  y_{*} у задане рівняння:

 2A\left(e^{2x}+4xe^{2x}+2x^{2}e^{2x} \right)-4\cdot 2A\left(xe^{2x}+x^{2}\cdot e^{2x} \right)+

 +4Ax^{2}e^{2x}=xe^{2x},

 2Ae^{2x}+\left(8A-8A\right)xe^{2x}+\left(4A-8A+4A \right)x^{2}e^{2x}=xe^{2x},

 2Ae^{2x}=xe^{2x},

 A=\frac{x}{2},

 y_{*}=\frac{x^{3}}{2}e^{2x}.

Отже,

 Y=y+y_{*}=C_{1}xe^{2x}+C_{2}e^{2x}+\frac{x^{3}}{2}e^{2x}=

 =e^{2x}\left(C_{1}x+C_{2}+\frac{x^{3}}{2} \right).

 

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Квітень 2019
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Бер    
1234567
891011121314
15161718192021
22232425262728
2930