Задача 6 (Подвійний інтеграл)

Обчислити подвійний інтеграл, використовуючи полярні координати  \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}{dx}\int_{-\sqrt{2-x^{2}}}^{0}{\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}dy}

♦ Область інтегрування являє собою нижнє півколо кола з центром в початку координат і радіусом  \sqrt{2} . Тому при переході до полярних координат ρ набуватиме значень від  - \sqrt{2} до 0, а кут φ – від – π до 0.

 \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}{dx}\int_{-\sqrt{2-x^{2}}}^{0}{\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}dy}= \begin{Bmatrix} x=\rho cos\varphi ,\\ y=\rho sin\varphi ,\\ dxdy=\rho d\rho d\varphi \end{Bmatrix}=

 =\int_{-\pi }^{0}{d\varphi }\int_{-\sqrt{2}}^{0}{\frac{\rho ^{3}cos\varphi sin\varphi }{\rho ^{2}(cos^{2}\varphi +sin^{2}\varphi )}d\rho }=

 =\int_{-\pi }^{0}{d\varphi }\int_{-\sqrt{2}}^{0}{\rho \cdot \frac{sin2\varphi }{2}d\rho }=\frac{1}{2}\int_{-\pi }^{0}{sin2\varphi d\varphi }\int_{-\sqrt{2}}^{0}{\rho d\rho }=

 =\frac{1}{2}\int_{-\pi }^{0}{sin2\varphi d\varphi }\cdot \frac{r^{2}}{2}|_{-\sqrt{2}}^{0}=\frac{1}{4}\int_{-\pi }^{0}{sin2\varphi d\varphi }\cdot (0-2)=

 =-\frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{cos2\varphi }{2} \right)|_{-\pi }^{0}=\frac{1}{4}(cos0 - cos\pi )=\frac{1}{4}\cdot 2=\frac{1}{2}  

 

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Листопад 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Жов    
 1234
567891011
12131415161718
19202122232425
2627282930