Задача 6 (Рівняння з аркфункціями)

Розв’язати рівняння:

а)  arcsin(x^{2}-4x+4)=\frac{\pi }{2} ;

б)  12arctg^{2}x-\pi arctgx-\pi ^{2}=0 ;

в)  arcsin^{2}x-2arcsinx-3=0 ;

г)  arccos^{2}x-arccosx-2=0 ;

д)  arccosx=arctgx ;

е)  arcsinx=2arctgx ;

є)  sin(3arccosx)=\frac{1}{2} ;

ж)  arcsin^{2}x+arccos^{2}x=\frac{5\pi ^{2}}{36} .

а)  arcsin(x^{2}-4x+4)=\frac{\pi }{2} ;

Таке рівняння розв’язується безпосередньо за означенням арксинуса. Тобто потрібно знайти таке значення виразу, що виступає як аргумент арксинуса, для якого арксинус дорівнює  \frac{\pi }{2} . А саме:

 x^{2}-4x+4 = 1\Leftrightarrow x^{2}-4x+3=0\Leftrightarrow x_{1}=1,x_{2}=3.

Відповідь: 1; 3.

б)  12arctg^{2}x-\pi arctgx-\pi ^{2}=0 ;

Рівняння такого типу розв’язуються через заміну змінної. Ввівши заміну  arctgx=t , отримаємо квадратне рівняння відносно t:

 12t^{2}-\pi t-\pi ^{2}=0\Leftrightarrow t_{1}=\frac{\pi }{3},\: t_{2}=-\frac{\pi }{4}. .

Повертаючись до заміни, отримаємо:

 arctgx=\frac{\pi }{3}, \:  arctgx=-\frac{\pi }{4}\Leftrightarrow x=\sqrt{3},\; x=-1. .

Відповідь:  \sqrt{3},\; -1.

в)  arcsin^{2}x-2arcsinx-3=0 ;

Рівняння розв’язується аналогічно до попереднього випадку.

Введемо заміну:  arcsinx=t .

Отримаємо рівнняння:  t^{2}-2t-3=0\Leftrightarrow t_{1}=3,\: t_{2}=-1 .

Але на змінну t потрібно накласти обмеження  -\frac{\pi }{2}\leq t\leq \frac{\pi }{2} , оскільки множина значень арксинуса це проміжок  \left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right] . Тому маємо:

 t_{1}=3 – не задовольняє умову заміни;

 t_{2}=-1\Leftrightarrow x=sin(-1)=-sin1 .

Відповідь: – sin 1.

г)  arccos^{2}x-arccosx-2=0 ;

Розв’язуємо рівняння як і у попередньому випадку. Введемо заміну
 arccosx=t .

Отримаємо квадратне рівняння:  t^{2}-t-2=0 .

На змінну t накладемо обмеження   0\leq t\leq \pi   , оскільки множина значень аркосинуса – це проміжок  \left[0;\pi  \right] .

Тому  t_{1}=2 \Leftrightarrow arccosx=2\Rightarrow x=cos2, а  t_{2}=-1 – не задовольняє заміну.

Відповідь: cos 2.

д)  arccosx=arctgx ;

Візьмемо косинуси лівої та правої частини рівняння:
 cos(arccosx)=cos(arctgx) .

В правій частині рівняння виразимо косинус через тангенс:

 x= \pm \sqrt{\frac{1}{1+tg^{2}(arctgx)}} .

Областю визначення можуть бути числа із множини [-1; 1]. Враховуючи, що областю значень аркосинуса є множина
 \left[0;\pi  \right] , а арктангенса –  \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right) , то їх рівнясть можлива лише при  [0;\frac{\pi }{2})  . На цьому проміжку косинус додатній, тому візьмемо додатнє значення кореня.

Отримаємо рівняння:  x=  \sqrt{\frac{1}{1+tg^{2}(arctgx)}} ,

 x=\sqrt{\frac{1}{1+x^{2}}} .

Враховуючи, що  x\geq 0 , можемо піднести обидві частини цього рівняння до квадрату і отримаємо:

 x^{2}=\frac{1}{1+x^{2}},
 x^{2}+x^{4}=1,
 x^{4}+x^{2}-1=0,
 D=1-4\cdot (-1)=5
 x^{2}_{1}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2},

 x^{2}_{2}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},
 x=\pm \sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}

Враховуючи, що  x\geq 0 , отримаємо  x=\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}} .

Відповідь:  x=\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}} .

е)  arcsinx=2arctgx ,

Областю визначення можуть бути числа із множини [-1; 1].

Аналогічно до попереднього прикладу, розглянемо області значень функцій. Функція арксинус набуває значень  \left[ -\frac{\pi }{2}; \frac{\pi }{2} \right]  , а функція арктангенс  \left[-\frac{\pi }{4}; \frac{\pi }{4} \right] . Отже, обидві частини рівності можуть набувати значень  \left[-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2}  \right] .

Візьмемо синуси лівої та правої частини latex] sin(arcsinx)=sin(2arctgx) [/latex].

В лівій частині маємо  sin(arcsinx)=x .

В правій частині виразимо синус через тангенс половинного кута  sin(2arctgx)=\frac{2tg(arctgx)}{1+tg^{2}(arctgx)}=\frac{2x}{1+x^{2}} .

Отже, перейдемо до рівняння: x=\frac{2x}{1+x^{2}} ,

 x+x^{3}=2x ,

 x^{3}-x=0 ,

 x(x^{2}-1)=0 ,

 x_{1}=-1, \: x_{2}=0,\: x_{3}=1 .

Відповідь: -1; 0; 1.

є)  sin(3arccosx)=\frac{1}{2} ,

За формулою розв’язування рівняння sin x= a, отримаємо сукупність:  \begin{matrix} 3arccosx=\frac{\pi }{6}+2\pi n,\\  3arccosx=\frac{5\pi }{6}+2\pi n \end{matrix}\Leftrightarrow ,

 \begin{matrix} arccosx=\frac{\pi }{18}+\frac{2\pi n}{3}=\frac{\pi \left(1+12n \right)}{18},\\  arccosx=\frac{5\pi }{18}+\frac{2\pi n}{3}=\frac{\pi \left(5+12n \right)}{18}\: (n\in Z). \end{matrix}\Leftrightarrow  ,

З урахуванням того, що  0\leq arccosx\leq \pi  , із першої сукупності підходять лише  \frac{\pi }{18}  та  \frac{13\pi }{18}  , а із другої підходять лише  \frac{5\pi }{18} та  \frac{17\pi }{18} :

Відповідно отримуємо розв’язок нашого рівняння

 \begin{matrix} arccosx=\frac{\pi }{18},\\  arccosx=\frac{13\pi }{18},\\ arccosx=\frac{5\pi }{18},\\  arccosx=\frac{17\pi }{18}. \end{matrix} .

Об’єднавши розв’язки, запишемо:  \pm cos\frac{\pi }{18},\: \pm cos\frac{5\pi }{18} .

Відповідь:  \pm cos\frac{\pi }{18},\: \pm cos\frac{5\pi }{18} .

ж)  arcsin^{2}x+arccos^{2}x=\frac{5\pi ^{2}}{36} ,

Нехай  t=arcsinx,  , тоді  arccosx=\frac{\pi }{2}-t . Маємо:

 t^{2}+\left(\frac{\pi }{2}-t \right)^{2}=\frac{5\pi ^{2}}{36}\Leftrightarrow 2t^{2}-\pi t+\frac{\pi ^{2}}{9}=0 .

Розв’язуємо квадратне рівняння:

 t^{2}-\frac{\pi }{2}t+\frac{\pi ^{2}}{18}=0, ,

 t_{1}\cdot t_{2}=\frac{\pi ^{2}}{18} ,

 t_{1}+ t_{2}=\frac{\pi }{2} ,

 t_{1}=\frac{\pi }{3},\; t_{2}=\frac{\pi }{6} .

Звідки  x_{1}=\frac{\sqrt{3}}{2},\; x_{2}=\frac{1}{2} .

Відповідь:  \frac{\sqrt{3}}{2},\: \frac{1}{2} .

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Квітень 2019
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Бер    
1234567
891011121314
15161718192021
22232425262728
2930