Задача 6 (Визначення екстремуму функції)

Дослідити функцію  y=x^{2}-2e^{x-1} на екстремум в точці
 x_{0}=1 за допомогою похідних вищих порядків.

 y'=\left(x^{2}-2e^{x-1} \right)'=\left(x^{2} \right)'-\left(2e^{x-1} \right)'=

 =2x-2\left(e^{x-1} \right)'=2x-2e^{x-1} (x-1)'=

 =2x-2e^{x-1} \cdot 1 =2x-2e^{x-1}

 y''=\left(2x-2e^{x-1}  \right)'=(2x)'-\left(2e^{x-1} \right)'=

 =2-2\left(e^{x-1} \right)'=2-2e^{x-1}(x-1)'=

 =2-2e^{x-1}\cdot 1=2-2e^{x-1}

 y''(x_{0})=y''(1)=2-2\cdot e^{1-1}=2-2\cdot e^{0}=0

Оскільки, в т. х = 1 y” = 0, то визначатимемо екстремум функції за у’.

 y'=2x-2e^{x-1}

Візьмемо  y(0)=2\cdot 0-2\cdot e^{0-1}=0-2e^{-1}=-\frac{2}{e}<0,

Візьмемо  y(2)=2\cdot 2-2\cdot e^{2-1}=4-2\cdot e^{2-1}=

 = 4-2\cdot e=4-5,52=-1,52<0

Отже, при переході через т. х = 1 перша похідна не змінює знак, а, отже, т. х = 1 не є точкою екстремуму заданої функції.

Leave a Reply

Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Зараз на сайті
Реклама

Підписатись на сайт

Введіть свою електронну адресу, щоб підписатися на цей сайт і отримувати сповіщення про нові публікації електронною поштою.

Реклама