Задача 6 (Задача Коші. Система диференціальних рівнянь)

Розв’язати задачу Коші  \begin{cases} x'=-x+3y+1,   \\ y'=x+y,    \end{cases} ,  x(0)=1,\; y(0)=2 .

Позначимо через x(t) та y(t) шуканий розв’язок, через Y(p) та X(p) його зображення.
 x(t)\leftrightarrow pX(p)-1,\; y(t)\leftrightarrow Y(p)-2 .

Система операторних рівнянь матиме вигляд:
 \begin{cases}  pX(p)-1=-X(p)+3Y(p)+\frac{1}{p}, \\  pY(p)-2=X(p)+Y(p), \end{cases} .

Розв’яжемо цю систему відносно невідомих X(p) та Y(p):

 \begin{cases} (p+1)X(p)-3Y(p)=\frac{1}{p}+1, \  -X(p)+(p-1)Y(p)=2;  \end{cases}

 X(p)=2-(p-1)Y(p),

 (p+1)(2-(p-1)Y(p))-3Y(p)=\frac{1}{p}+1,

 2p+2-(p^{2}-1)Y(p)-3Y(p)=\frac{1}{p}+1,

 Y(p)(p^{2}-1+3)=2p+2-\frac{1}{p}-1,

 Y(p)(p^{2}+2)=2p+1-\frac{1}{p},

 Y(p)=\frac{2p^{2}+p-1}{p(p^{2}+2)},

 X(p)=2-(p-1)\frac{2p^{2}+p-1}{p(p^{2}+2)}=

 =\frac{2p(p^{2}+2)-(p-1)(2p^{2}+p-1)}{p(p^{2}+2)},

 X(p)=\frac{2p^{3}+4p-2p^{3}+2p^{2}-p^{2}+p+p-1}{p(p^{2}+1)},

 X(p)=\frac{p^{2}+6p-1}{p(p^{2}+2)},\; Y(p)=\frac{2p^{2}+p-1}{p(p^{2}+2)},

 X(p)=\frac{p}{p^{2}+2}+\frac{6}{p^{2}+2}-\frac{1}{p(p^{2}+2)},

 Y(p)=\frac{2p}{p^{2}+2}+\frac{1}{p^{2}+2}-\frac{1}{p(p^{2}+2)}.

 \frac{1}{p(p^{2}+2)}=\frac{A}{p}+\frac{Bp+C}{p^{2}+2}=

 =\frac{Ap^{2}+2A+Bp^{2}+Cp}{p(p^{2}+2},

 (A+B)p^{2}+Cp+2A=1,

 \begin{cases} A+B=0,  \\  C=0, \\  2A=1;   \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} B=-\frac{1}{2}, \\ C=0,\\  A=\frac{1}{2}.  \end{cases}

Отже,  X(p)=\frac{p}{p^{2}+2}+\frac{6}{p^{2}+2}-\frac{1}{2p}+\frac{p}{2(p^{2}+2)};

 Y(p)=\frac{2p}{p^{2}+2}+\frac{1}{p^{2}+2}-\frac{1}{2p}+\frac{p}{2(p^{2}+2)}.

За таблицею відповідностей:

 x(t)=cos\sqrt{2}t+\frac{6sin\sqrt{2}t}{\sqrt{2}}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos\sqrt{2}t=

 =\frac{3}{2}cos\sqrt{2}t+3\sqrt{2}sin\sqrt{2}t-\frac{1}{2};

 y(t)=2cos\sqrt{2}t+\frac{1}{\sqrt{2}}sin\sqrt{2}t-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos\sqrt{2}t=

 =\frac{5}{2}cos\sqrt{2}t+\frac{1}{\sqrt{2}}sin\sqrt{2}t-\frac{1}{2}.

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Квітень 2019
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Бер    
1234567
891011121314
15161718192021
22232425262728
2930