Задача 6 (Збіжність ряду)

Дослідити ряд на збіжність  \sum_{n=1}^{\bowtie }{\frac{2^{n}\cdot n^{2}}{n+1}} .

♦ Дослідимо заданий ряд на збіжність за ознакою Д’аламбера:

 u_{n}=\frac{2^{n}\cdot n^{2}}{n+1},   u_{n+1}=\frac{2^{n+1}\cdot (n+1)^{2}}{n+1+1}=\frac{2^{n+1}\cdot (n+1)^{2}}{n+2}

 D=\lim_{n\rightarrow \bowtie }\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\lim_{n\rightarrow \bowtie }=\frac{2^{n+1}(n+1)^{2}}{n+2}\cdot \frac{n+1}{2^{n}\cdot n^{2}}=

 =\lim_{n\rightarrow \bowtie }\frac{2\cdot 2^{n}(n+1)^{2}\cdot (n+1)}{n^{2}(n+2)\cdot 2^{n}}=

 =2\lim_{n\rightarrow \bowtie }\frac{(n^{2}+2n+1)(n+1)}{n^{2}(n+2)}=

 =2\lim_{n\rightarrow \bowtie }\frac{n^{3}+2n^{2}+n+n^{2}+1}{n^{3}+2n^{2}}=

 =2\lim_{n\rightarrow \bowtie }\frac{n^{3}+3n^{2}+n+1}{n^{3}+2n^{2}}=2\cdot 1=2

Оскільки D > 1, то заданий ряд є розбіжним.♦

 

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Листопад 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Жов    
 1234
567891011
12131415161718
19202122232425
2627282930