Задача 7 (Обчислення площі поверхні правильної чотирикутної піраміди)

Знайдіть площу повної поверхні правильної чотирикутної призми, якщо:
1) діагональ призми дорівнює  \sqrt{34} м, а діагональ бічної грані – 5м;
2) сторона основи призми дорівнює 3 м, а діагональ бічної грані – 5 м.

призма, правильна чотирикутна призма, площа повної поверхні правильної чотирикутної призми
  1. Дано:  ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1} – чотирикутна призма;
    ABCD – квадрат;
     B_{1}D=\sqrt{34} м;
     C_{1}D м.
    Знайти:  S_{n.n.} .

Розв’язання:
 S_{n.n.}=S_{6.n.}+2S_{oc.} , де  S_{6.n.}=4S_{6.} ,  S_{oc.}=S_{ABCD} .

Розглянемо  \Delta B_{1}C_{1}D\; (<C_{1}=90^{0}) :

 B_{1}D^{2}=B_{1}C_{1}^{2}+C_{1}D^{2} ;

 \sqrt{34}^{2}=B_{1}C_{1}^{2}+25 ;

 B_{1}C_{1}^{2}=34-25 ;

 B_{1}C_{1}^{2}=9 ;

 B_{1}C_{1}=3 (м).

Отже,  AB=B_{1}C_{1}=3 м, звідси  S_{ABCD}=AB^{2}=3^{2}=9 . Значить,  S_{oc.}=9 \; m^{2} .

Розглянемо  \Delta CC_{1}D\: (<C=90^{0},\: C_{1}D=5\: m,\: CD=3\: m) .

 C_{1}D^{2}=CD^{2}+CC_{1}^{2} ;

 5^{2}=3^{2}+C_{1}C^{2} ;

 C_{1}C^{2}=25-9 ;

 C_{1}C^{2}=16 ;

 C_{1}C=4 (м);

 S_{6.}=S_{CDD_{1}C_{1}}=CD\cdot CC_{1} ;

 S_{CDD_{1}C_{1}}=3\cdot 4=12\; (m^{2})\Rightarrow S_{6.}=12\: m^{2} .

Отже,  S_{n.n.}=4\cdot 12+2\cdot 9=48+18=66\: (m^{2}) .

Відповідь:  S_{n.n.}=66\: m^{2} .

призма, правильна, чотирикутна, площа поверхні, правильная, четырехугольная призма

2) Дано:  ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1} – чотирикутна призма;
АВСD – квадрат;
АВ = 3 м;
 A_{1}B = 5 м.
Знайти:  S_{n.n.} .

Розв’язання:

 S_{n.n.}=4S_{6.}+2S_{oc.} ;

 S_{6.}=S_{AA_{1}B_{1}B}=AB\cdot AA_{1} ;

 S_{oc.}=S_{ABCD}=AB^{2} .

Розглянемо  \Delta AA_{1}B\: (<A=90^{0}): :

 A_{1}B^{2}=AB^{2}+AA_{1}^{2} ;

 5^{2}=3^{2}+AA_{1}^{2} ;

 25=9+AA_{1}^{2} ;

 AA_{1}^{2}=16 ;

 AA_{1}=4 (м).

Отже,  S_{AA_{1}B_{1}B}=3\cdot 4=12\: (m^{2}) ;

 S_{ABCD}=3^{2}=9\: (m^{2}) .

Тобто,  S_{6.}=12\: m^{2} ,  S_{oc.}=9\: m^{2} , значить:

 S_{n.n.}=4\cdot 12+2\cdot 9=48+18=66\: (m^{2}) .

Відповідь:  S_{n.n.}=66\: m^{2} .

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitasсчетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Реклама