Задача 7 (Площа фігури, обмеженої лініями)

Знайти площу фігури, обмеженої лініями 

 y^{2}-2y+x^{2}=0

  y^{2}-4y+x^{2}=0

 y=\frac{x}{\sqrt{3}}

 y=\sqrt{3}x .

♦  (y^{2}-2y+1)-1+x^{2}=0

 (y-1)^{2}+x^{2}=1

 x^{2}+(y-1)^{2}=1 – коло з центром в т. (0;1) і R = 1. 

 (y^{2}-4y+4)-4+x^{2}=0

 (y-2)^{2}+x^{2}=4

 x^{2}+(y-2)^{2}=4 – коло з центром в т. (0; 2) і R = 2.

Зобразимо графіки заданих кривих:

Перейдемо до  полярних координат. За формулами переходу

  x=rcos\varphi, y=rsin\varphi .

Знайдемо полярні рівняння кіл: 

 y^{2}-2y+x^{2}=0,

 r^{2}sin^{2}\varphi -2rsin\varphi +r^{2}cos^{2}\varphi =0

 r^{2}(sin^{2}\varphi +cos^{2}\varphi )-2rsin\varphi =0

 r^{2}-2rsin\varphi =0

 r(r-2sin\varphi )=0

 r=2sin\varphi

 y^{2}-4y+x^{2}=0

 r^{2}sin^{2}\varphi -4rsin\varphi +r^{2}cos^{2}\varphi =0

 r^{2}(sin^{2}\varphi +cos^{2}\varphi )-4rsin\varphi =0

 r^{2}-4rsin\varphi =0

 r(r-4sin\varphi )=0

 r=4sin\varphi .

Отже,  2sin\varphi \leq r\leq 4sin\varphi .

Визначимо кут φ.

  y=\frac{x}{\sqrt{3}}

 k=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow tg\varphi =\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \varphi =30^{0}=\frac{\pi }{6} ,

  y=\sqrt{3}x

 k=\sqrt{3}\Rightarrow tg\varphi =\sqrt{3}\Rightarrow \varphi 60^{0}=\frac{\pi }{3}  .

Отже,  \frac{\pi }{6}\leq \varphi \leq \frac{\pi }{3} .

Маємо:  S=\int \int _{D}dxdy=\int \int _{D}rdrd\varphi =

 =\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}{d\varphi} \int_{2sin\varphi }^{4sin\varphi }{dr}=\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{r^{2}}{2}}|_{2sin\varphi }^{4sin\varphi }d\varphi

 =\frac{1}{2}\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}{\left(16sin^{2} \varphi -4sin^{2}\varphi \right)d\varphi }=

 =\frac{1}{2}\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}12sin^{2}\varphi d\varphi =

 =12\cdot \frac{1}{4}\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}\left(1-cos2\varphi \right)d\varphi =

 =3\left(\varphi -\frac{1}{2}sin2\varphi \right)|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}=

 =3\left(\frac{\pi }{3} -\frac{1}{2}\cdot sin\frac{2\pi }{3}-\frac{\pi }{6}+\frac{1}{2}sin\frac{\pi }{3}\right)=

 =\left(\frac{\pi }{6}-\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4} \right)=

 =\frac{\pi }{3}\approx \frac{3,14}{3}\approx 1,04 (кв. од.) ♦

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Листопад 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Жов    
 1234
567891011
12131415161718
19202122232425
2627282930