Задача 7 (Розклад функції в степеневий ряд)

Розкласти функцію в степеневий ряд  f(x)=ln\sqrt{\frac{1+x}{1-x}} .

♦  f(x)=ln\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}=ln\left(\frac{1+x}{1-x} \right)^{\frac{1}{2}}=

 =2ln\left(\frac{1+x}{1-x} \right)=2\left(ln\left(1+x \right) -ln\left(1-x \right)\right)

Розвинемо окремо функції  ln\left( 1+x\right)   та  ln\left(1-x \right)=ln\left(1+(-x) \right)  .

 ln(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+...+\frac{(-1)^{n+1}x^{n}}{n}+...

 ln\left(1-x \right)=-x-\frac{(-x)^{2}}{2}+\frac{(-x)^{3}}{3}-\frac{(-x)^{4}}{4}+...+\frac{(-1)^{n+1}(-x)^{n}}{n}+...=

 =-x-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}-...-\frac{x^{n}}{n}

 2\left(ln\left(1+x \right)-ln\left(1-x \right) \right)=2(x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+...+

 +\frac{(-1)^{n+1}x^{n}}{n}+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{4}}{4}+...+\frac{x^{n}}{n}+...)=

 =2\left(2x+\frac{2x^{3}}{3}+\frac{2x^{5}}{5}+\frac{2x^{7}}{7}+...+\frac{2x^{2n-1}}{2n-1} +...\right)=

 =4\left(x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+...+\frac{x^{2n-1}}{2n-1}+... \right)=4\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{x^{2n-1}}{2n-1}}

В розвиненні ln(1+x), x ∈ (-1; 1], а в ln(1-x), x∈[-1;1) , тому найбільшим околом О(х0), у якому цей розклад має місце є відрізок [-1;1].

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Грудень 2018
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Лис    
 12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930
31