Задача 7 (Точка, симетрична заданій відносно прямої)

Знайти координати точки, симетричної точці А(5; 7) відносно прямої, що проходить через точки С (0; 2) та D (6; -1).

Запишемо рівнняння прямої, відносно якої потрібно шукати симетричну точку, як рівняння прямої, що проходить через дві точки:

 l:\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}};

 \frac{x-0}{6-0}=\frac{y-2}{-1-2};

 \frac{x}{6}=\frac{y-2}{-3};

 -3x=6y-12;

 x=-2y+4;

 x+2y-4=0.

Нехай A’ (x; y) симетрична точці А (5;7) відносно прямої l. Розглянемо пряму A’A, що проходить через точку А перпендикулярно до прямої l. Її напрямним вектором є  \vec{n}(1;2) . Отже, її рівняння має вигляд:

 \frac{x-x_{1}}{x_{n}}=\frac{y-y_{1}}{y_{n}};

 \frac{x-5}{1}=\frac{y-7}{2};

 2x-10=y-7;

 2x-y-3=0.

Знайдемо точку перетину l та А’А, розв’язавши систему рівнянь:

 \begin{cases} 2x-y-3=0, \\ x+2y-4=0; \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 2x-y-3=0,  \\  -2x-4y+8=0;  \end{cases}\Rightarrow

 \Rightarrow \begin{cases} 2x-y-3=0,   \\  -5y+5=0;  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} y=1,  \\  2x=4;   \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x=2,  \\ y=1;   \end{cases}

Точка (2; 1) є серединою А’А. Визначимо координати точки А’ з рівнянь координат середини відрізка:

 x_{C}=\frac{x_{A}+x_{A'}}{2},\; y_{C}=\frac{y_{A}+y_{A'}}{2},

 2=\frac{5+x_{A'}}{2};\; 1=\frac{7+y_{A'}}{2},

 5+x_{A'}=4;\; 7+y_{A'}=2,

 x_{A'}=-1;\; y_{A'}=-5.

A’ (-1; -5) – шукана точка.

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Лютий 2019
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Січ    
 123
45678910
11121314151617
18192021222324
25262728