Задача 7 (Визначений інтеграл)

Обчислити інтеграл  \int_{-2}^{0}{x^{2}e^{-\frac{x}{2}}dx} .

♦ Для знаходження даного інтеграла виконаємо інтегрування частинами двічі. 

 \int_{-2}^{0}{x^{2}e^{-\frac{x}{2}}dx}=\begin{vmatrix} U_{1}=x^{2} & dV_{1}=e^{-\frac{x}{2}}dx\\ dU_{1}=2xdx & V_{1}=-2e^{-\frac{x}{2}} \end{vmatrix}= .

Для обчислення V1 знайдемо інтеграл  \int e^{-\frac{x}{2}}dx=\begin{vmatrix} -\frac{x}{2}=t\\ -dx=2dt \end{vmatrix}=

 = -\int 2e^{t}dt=-2e^{t}=-2e^{-\frac{x}{2}}   .

Отже,  V_{1}=-2e^{-\frac{x}{2}} .

 =-2x^{2}e^{-\frac{x}{2}}|_{-2}^{0}+2\int_{-2}^{0}{e^{-\frac{x}{2}}\cdot 2xdx}=

 =-2(0-(-2)^{2}e^{\frac{-2}{-2}})+4\int_{-2}^{0}{e^{-\frac{x}{2}\cdot x}dx}=

 =\begin{vmatrix} U_{2}=x & e^{-\frac{x}{2}}dx =dV_{2} \\ dU_{2}=dx & V_{2}=-2e^{-\frac{x}{2}} \end{vmatrix}=

 =-2\cdot 4e+4(-2xe^{-\frac{x}{2}}|_{-2}^{0}-\int_{-2}^{0}{-2e^{-\frac{x}{2}}dx})=

 =-8e+4(-2(0+2e^{-\frac{-2}{2}})+2\int_{-2}^{0}{e^{-\frac{x}{2}}dx})=

 =-8e-16e+8(-2e^{-\frac{x}{2}})|_{-2}^{0}=

 =-24e-16(e^{0}-e^{1})=-24e-16(1-e)=

 =-24e-16+16e=-8e-16 .♦

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitasсчетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Реклама