Задача 9 (Метод найменших квадратів)

Знайти параметри емпіричної функції за методом найменших квадратів, припускаючи що між заданими значеннями x і  y існує
а) лінійна,
б) квадратична,
в)гіперболічна залежності.
Встановити,  яка з функцій найточніше відображає  залежність.

Розрахункова таблиця, метод найменших квадратів

а) Припустимо, що залежність лінійна  y_{1}=ax+b .

 S=\sum_{i=1}^{n}{\left(ax_{i}+b-y_{i} \right)^{2}}. .

 \begin{cases} S_{a}'=\sum_{i=1}^{n}{2\left(ax_{i}+b-y_{i} \right)x_{i}}=0, \\  S_{b}'=\sum_{i=1}^{n}{2\left(ax_{i}+b-y_{i} \right)}=0,    \end{cases}

 \begin{cases} a\sum_{i=1}^{n}{x_{i}^{2}}+b\sum_{i=1}^{n}{x_{i}}=\sum_{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}}, \\ a\sum_{i=1}^{n}{x_{i}}+b\cdot n=\sum_{i=1}^{n}{y_{i}}.  \end{cases}

Розрахункова таблиця, метод найменших квадратів

 \begin{cases}  650a+78b=851,1, \\   78a+12b=106;  \end{cases}\Rightarrow

 \Rightarrow \begin{cases}  650a+78b=851,1,  \\  b=\frac{106}{12}-\frac{78}{12}a;  \end{cases}\Rightarrow

 \Rightarrow \begin{cases}  650a+78b=851,1,  \\  b=8,8-6,5a;  \end{cases}\Rightarrow

 \Rightarrow \begin{cases}  650a+78(8,8-6,5a)=851,1,  \\  b=8,8-6,5a;  \end{cases}\Rightarrow

 \Rightarrow \begin{cases}  650a-507a=851,1-686,4,  \\   b=8,8-6,5a;  \end{cases}\Rightarrow

 \Rightarrow \begin{cases} 143a=164,7, \\  b=8,8-6,5a; \end{cases}\Rightarrow

 \Rightarrow \begin{cases} a=1,13, \\  b=8,8-6,5\cdot 1,13; \end{cases}\Rightarrow

 \Rightarrow \begin{cases} a=1,13, \  b=1,46. \end{cases}\Rightarrow  .

Отже,  y_{1}=1,13x+1,46 .

Дозаповнимо два останніх стовпчика розрахункової таблиці.

б) Припустимо, що залежність квадратна  y_{2}=ax^{2}+bx+c .

 S=\sum_{i=1}^{n}{\left(ax_{i}^{2}+bx_{i}+c-y_{i} \right)^{2}}.

 \begin{cases} S'{a}=\sum_{i=1}^{n}{2\left(ax_{i}^{2}+bx_{i}+c-y_{i} \right)x_{i}^{2}}=0, \\  S'{b}=\sum_{i=1}^{n}{2\left(ax_{i}^{2}+bx_{i}+c-y_{i} \right)x_{i}}=0,   \\ S'{c}=\sum_{i=1}^{n}{2\left(ax_{i}^{2}+bx_{i}+c-y_{i} \right)}=0.  \end{cases}

 \begin{cases} a\sum_{i=1}^{n}{x_{i}^{4}}+b\sum_{i=1}^{n}{x_{i}^{3}}+c\sum_{i=1}^{n}{x_{i}^{2}}=a\sum_{i=1}^{n}{x_{i}^{2}y_{i}}, \\  a\sum_{i=1}^{n}{x_{i}^{3}}+b\sum_{i=1}^{n}{x_{i}^{2}}+c\sum_{i=1}^{n}{x_{i}}=a\sum_{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}},  \\  a\sum_{i=1}^{n}{x_{i}^{2}}+b\sum_{i=1}^{n}{x_{i}}+c\cdot n=a\sum_{i=1}^{n}{y_{i}}.  \end{cases}

Розрахункова таблиця, метод найменших квадратів

 \begin{cases} 60710a+6084b+650c=7792,5,  \\   6084a+650b+78c=851,1  \\  650a+78b+12c=106.   \end{cases} .

Розв’яжемо систему методом Крамера:

 \Delta =\begin{vmatrix} 60710 & 6084 & 650\\  6084 & 650 & 78\\  650 & 78 & 12 \end{vmatrix}=2290288,

 \Delta _{a}=\begin{vmatrix} 7792,5 & 6084 & 650\\  851,1 & 650 & 78\\  106 & 78 & 12 \end{vmatrix}=-96896,8,

 \Delta _{b}=\begin{vmatrix} 60710 & 7792,5 & 650\\  6084 & 851,1 & 78\\  650 & 106 & 12 \end{vmatrix}=3855852,

 \Delta _{c}=\begin{vmatrix} 60710 & 6084 & 7792,5\\  6084 & 650 & 851,1\\  650 & 78 & 106 \end{vmatrix}=416416.

 a=\frac{\Delta a}{\Delta }=-\frac{96896,8}{2290288}=-0,038,

 b=\frac{\Delta _{b}}{\Delta }=-\frac{3855852}{2290288}=1,65,

 c=\frac{\Delta _{c}}{\Delta }=\frac{416416}{2290288}=0,21.

Отже,  y_{2}=-0,038x^{2}+1,65x+0,21 .

Дозаповнимо розрахункову таблицю.

в) Припустимо, що залежність гіперболічна:

  y_{3}=\frac{a}{x}+b.

 S=\sum_{i=1}^{n}{\left(\frac{a}{x_{i}}+b-y_{i} \right)^{2}}.

  \begin{cases} S_{a}'=\sum_{i=1}^{n}{2\left(\frac{a}{x_{i}}+b-y_{i} \right)\frac{1}{x_{i}}}=0, \\ S_{b}'=\sum_{i=1}^{n}{2\left(\frac{a}{x_{i}}+b-y_{i} \right)}=0;  \end{cases}

  \begin{cases} a\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{x_{i}^{2}}+b\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{x_{i}}}}=\sum_{i=1}^{n}{\frac{y_{i}}{x_{i}}},\\ a\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{x_{i}}+bn}=\sum_{i=1}^{n}{y_{i}}. \end{cases}  .

Розрахункова таблиця, метод найменших квадратів

Отже,

 \begin{cases}  1,56a+3,1b=17,  \\  3,1a+12b=106;   \end{cases}\Rightarrow

 \Rightarrow \begin{cases}  1,56a+3,1b=17,  \  a=\frac{106}{3,1}-\frac{12}{3,1}b;   \end{cases}\Rightarrow

 \Rightarrow \begin{cases} 1,56(34,19-3,87b)+3,1b=17, \  a=34,19-3,87b;  \end{cases}\Rightarrow

 \Rightarrow \begin{cases} 53,34-6,04b+3,1b=17,  \  a=34,19-3,87b;  \end{cases}\Rightarrow

 \Rightarrow \begin{cases} -2,94b=-36,34,  \  a=34,19-3,87b;  \end{cases}\Rightarrow

 \Rightarrow \begin{cases}  b=12,35,  \  a=-13,65.   \end{cases}

Отже,  y_{3}=-\frac{13,65}{x}+12,35. .

Дозаповнимо розрахункову таблицю.

Порівнюючи  \delta {1} ,  \delta {2} та  \delta _{3} , бачимо , що  \delta _{2}=8,852 – найменше. Це значить, що точніше відображає емпіричні дані функція  y_{2}=-0,038x^{2}+1,65x+0,21 .

Тобто, парабола і є оптимальною функцією.

Знайдемо вершину параболи:

 x_{0}=-\frac{b}{2a}=-\frac{1,65}{2\cdot (-0,038)}=21,7, ,

 y_{0}=y_{2}(0)=18,1 .

Точки перетину з осями координат:

 Ox:\; y=0\; -0,038x^{2}+1,65x+0,21=0, ,

 x_{1}=43,5\; x_{2}=-0,13 ,

 Oy:\; x=0\; y=0,21 .

Побудуємо графік.

Графік функції, точки, емпірична функція, парабола

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitasсчетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Реклама