Задача 6 (Обчислення площі повної поверхні піраміди)

Знайти площу повної поверхні правильної трикутної піраміди, якщо:
1) бічне ребро дорівнює 12 см і утворює з висотою кут  30^{0}  ;
2)апофема піраміди дорівнює 6 см і нахилена до площини основи під кутом   .

  1. Дано: піраміда ABCS;
     \Delta ABC – рівносторінній;
    BS = 12 см;
     < BSO = 30^{0} ;
    Знайти:  Sn.n.

Розв’язання:

 S_{n.n.}=S_{6.n.}+S_{oc.};
 S_{6.n.}=3S_{\Delta ABS};
 S_{oc.}=S_{\Delta ABC}.
За формулою для обчислення площі правильного трикутника:
 S_{\Delta ABC}=\frac{\sqrt{3}\cdot AB^{2}}{4} .
Точка О – це точка перетину медіан  \Delta ABC . Оскільки  \Delta ABC рівносторонній, то ВМ – висота, медіана та бісектриса. Значить:
 MA=\frac{1}{2}AB ;
 <BMA=90^{0} .
Тоді з  \Delta ABM :
 BM^{2}+AM^{2}=AB^{2} ;
 BM^{2}+\frac{AB}{2}^{2}=AB^{2} ;
 BM^{2}+\frac{AB^{2} }{4}=AB^{2} ;
 BM^{2}=\frac{AB}{2}-\frac{AB^{2} }{4} ;
 BM^{2}=\frac{3}{4}AB^{2}\Rightarrow BM=\frac{\sqrt{3}}{2}AB\Rightarrow AB=\frac{2BM}{\sqrt{3}} .
Знайдемо довжину ВМ. За властивістю медіан:
 BO=\frac{2}{3}BM\Rightarrow BM=\frac{3}{2}BO .
Відрізок ВО знайдемо з
 \Delta BOS\; (<O=90^{0},\; <S=30^{0},\; BS = 12 cm) :
 \frac{BO}{BS}=sin<S ;
 \frac{BO}{12}=sin30^{0} ;
 BO=12\cdot \frac{1}{2} ;
 BO=6 (см).
Тоді:  BM = \frac{3}{2}\cdot 6=9 (см), а значить   AB =\frac{2\cdot 9}{\sqrt{3}}=2\cdot 3\sqrt{3}=6\sqrt{3}.
Отже,  S_{\Delta ABC}=\frac{\sqrt{3}\cdot 6\sqrt{3}}{4}=\frac{6\uplus 3}{4}=\frac{18}{4}=4,5(cm^{2}) .
Тобто,  S_{oc.}=4,5(cm^{2}) .
Знайдемо  S_{\Delta ABS} .
Розглянемо  \Delta ABS:\; AS=BS=12  (см) (за умовою);
 AB=6\sqrt{3} см.
За формулою Герона:
 S_{\Delta ABS}=\sqrt{p\left(p-AB\right)\left(p-BS \right)\left(p-AS\right)} , де  p=\frac{AB+AS+BS}{2} .
 p=\frac{6\sqrt{3}+12+12}{2}=3\sqrt{3}+6+6=12+3\sqrt{3} .
 S_{\Delta ABS}= \sqrt{\left(12+3\sqrt{3} \right)\left(12+3\sqrt{3}-6\sqrt{3} \right)}\cdot
\cdot  \sqrt{\left(12+3\sqrt{3}-12 \right)\left(12+3\sqrt{3} -12\right)}=
 =\sqrt{\left(12+3\sqrt{3} \right)\left(12-3\sqrt{3} \right)3\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{3}}=
 =\sqrt{\left(12^{2}-\left(3\sqrt{3} \right)^{2} \right)\cdot 27}=
 =\sqrt{\left(144-27 \right)\cdot 27}=\sqrt{117\cdot 27}=
 =\sqrt{9\cdot 13\cdot 3\cdot 9}=9\sqrt{39}\: (cm^{2}) .
Отже,  S_{\Delta ABS}=9\sqrt{39}\; cm^{2} ;
 S6.n.=3\cdot 9\sqrt{39}=27\sqrt{39}\; (cm^{2}) ;
 S_{n.n.}=27\sqrt{39}+4,5\; cm^{2} .

2. Дано: ABCS – піраміда;
 \Delta ABC – рівносторонній;
SK – апофема;
SK = 6 см;
 <SKB=45^{0} .
Знайти:  S_{n.n.} .

Розв’язання:


 S_{n.n.}=S_{6.n.}+S_{oc.} ;
 S_{6.n.}=3S_{\Delta ABS} ;
 S_{oc.}=S_{\Delta ABC} .

Знайдемо сторону основи піраміди.

Оскільки  \Delta ABC рівносторонній, то ВК – висота і медіана, а значить  AK=\frac{1}{2}AB .

Тоді з  \Delta ABK :

 BK^{2}+AK^{2}=AB^{2} ;
 BK^{2}+\left(\frac{AB}{2} \right)^{2}=AB^{2} ;
  BK^{2}=AB^{2}-\frac{AB^{2}}{4}  ;
 BK^{2}=\frac{3}{4}AB^{2}\Rightarrow BK=\frac{\sqrt{3}}{2}AB\Rightarrow AB=\frac{2BK}{\sqrt{3}}

Визначимо довжину ВК. Оскільки т. О – це точка перетину медіан, то за властивістю медіан:
 OK=\frac{1}{3}BK\Rightarrow BK=3OK

Розглянемо  \Delta OSK:<O=90^{0},<K=45^{0} , SK = 6 см.

 \frac{OK}{SK}=cos<K;
 \frac{OK}{6}=cos45^{0};
 OK=6\cdot \frac{\sqrt{2}}{2};
 OK=3\sqrt{2}

Тоді:  BK=3\cdot 3\sqrt{2}=9\sqrt{2} (см).

Звідси ,  AB=\frac{2\cdot 9\sqrt{2}}{3}=6\sqrt{2} (см).

 S_{\Delta ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}AB^{2} (за формулою площі для рівностороннього трикутника)

 S_{\Delta ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot \left(6\sqrt{2} \right)^{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 36\cdot 2=18\sqrt{3}

Тобто,  S_{oc.}=18\sqrt{3}\; cm^{2} .

Знайдемо  S_{\Delta ACS} :
 S_{\Delta ACS}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot SK\; \left(AC=AB \right); ;
 S_{\Delta ACS}=\frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{2}\cdot 6=18\sqrt{2}\; (cm^{2}). .

Тобто,  S_{\Delta ACS}=18\sqrt{2}\; cm^{2}. , а значить  S_{6.n.}=3\cdot 18\sqrt{2}=54\sqrt{2}\; (cm^{2}) .

Маємо:  S_{n.n.}=54\sqrt{2}+18\sqrt{3}=18\left(3\sqrt{2}+\sqrt{3} \right)\; \left(cm^{2} \right) .

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Лютий 2019
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Січ    
 123
45678910
11121314151617
18192021222324
25262728