Задача13 (Дії над векторами, рівняння прямих)

У трикутнику АВС задано координати вершини А та векторів  \vec{AB}(-3;2)   і  \vec{AC}(-1;1) . Знайти:

а) координати вершин В і С;

б) кут при вершині А;

в) рівняння висоти, проведеної з вершини В;

г) рівняння медіани, проведеної з вершини В;

Зробити рисунок.

♦ а)  x_{\vec{AB}}=x_{B}-x_{A},\; y_{\vec{AB}}=y_{B}-y_{A},\;

 x_{B}=x_{\vec{AB}}+x_{A},\;y_{B}=y_{\vec{AB}}+y_{A},\;

 x_{B}=-3-1=-4,\; y_{B}=2-3=-1\Rightarrow B(-4;-1)

 x_{\vec{AC}}=x_{C}-x_{A},\; y_{\vec{AC}}=y_{C}-y_{A},\;

 x_{C}=x_{\vec{AC}}+x_{A},\;y_{C}=y_{\vec{AC}}+y_{A},\;

 x_{C}=-1-1=-2,\; y_{C}=1-3=-2\Rightarrow C(-2;-2) .

б) Кут при вершині А – це кут між векторами  \vec{AB} та  \vec{AC} .

 cosA=\frac{\vec{AB}\cdot \vec{AC}}{\left| \vec{AB}\right|\cdot \left|\vec{AC} \right|}=\frac{-3\cdot (-1)+2\cdot 1}{\sqrt{(-3)^{2}+2^{2}}\cdot \sqrt{(-1)^{2}+1^{2}}}=

 =\frac{3+2}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{2}}=\frac{5}{\sqrt{26}}\approx \frac{5}{5,09}\approx 1\Rightarrow < A\approx 1^{0} .

в) Рівняння сторони АС – рівняння прямої, що проходить через точки А та С.

 \frac{x-x_{A}}{x_{C}-x_{A}}=\frac{y-y_{A}}{y_{C}-y_{A}}\Rightarrow

 \Rightarrow \frac{x+1}{-2+1}=\frac{y+3}{-2+3}\Rightarrow

 \Rightarrow x+1=-y-3,

 x+y+4=0. .

Отже, АС: х + у + 4 = 0.

Вектор нормалі цієї прямої  \vec{n}(1;1) можна взяти за напрямний вектор  \vec{u} висоти, проведеної з вершини В (-4;-1):

 \frac{x+4}{1}=\frac{y+1}{1},

 x+4=y+1,

 h:x-y+3=0. .

г) Знайдемо координати точки М – середини сторони АС.

 x_{M}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2}=\frac{-1-2}{2}=-1,5;

 y_{M}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2}=\frac{-3-2}{2}=-2,5; .

Тобто М(-1,5; -2,5).

Запишемо рівняння медіани – рівняння прямої, що проходить через т. М та т. В.

 \frac{x-x_{B}}{x_{M}-x_{B}}=\frac{y-y_{B}}{y_{M}-y_{B}}; ;

 \frac{x+4}{-1,5+4}=\frac{y+1}{-2,5+1}; ;

 -1,5x-6=2,5y+2,5; ;

 -1,5x+2,5y-8,5=0,\; /:\left(-\frac{1}{2} \right) ;

 3x+5y+17=0. .

Отже, ВМ: 3х + 5у +17=0.

Зробимо малюнок.♦

Leave a Reply

Зараз на сайті
contador de visitas счетчик посещений
Лічильник сайту
html counterсчетчик посетителей сайта
Календар
Травень 2019
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
« Кві    
 12345
6789101112
13141516171819
20212223242526
2728293031