Функції та графіки

Приклад 

Знайти область визначення функції:

а)   y=\frac{1}{\sqrt{2x-4}} ;

б)  y=\sqrt{(x+1)(x-7)} ;

в)   y=lg(3x^{2}-12) .

♦ a)  y=\frac{1}{\sqrt{2x-4}}

 2x-4>0;
2x>4;
x>2;
D : x\in (2;\propto );

б)  y=\sqrt{(x+1)(x-7)}

(x+1)(x-7)\geq 0 ;

D: x\in(-\propto ;-1]\bigcup{} [7;+\propto ) .

в)  y=lg(3x^{2}-12)

3x^{2}-12>0;

3(x^{2}-4)>0;

x^{2}-4>0 ;

\left|x \right|>2 ;

 D: x\in (-\propto ;-2)\bigcup{}(2;+\propto )

Приклад 

Знайти область визначення функції:

а) y = 5x – 4;

 б)  y=\frac{2x-5}{x^{2}-x};  

в)  y=\frac{\sqrt{x}}{x^{2}-5x+6}

♦ Область визначення – це множина всіх значень, яких може набувати змінна х.

а) Функція є лінійною (змінна х входить в першому степені). Отже, х може набувати будь-яких значень, тобто D(y): х∈R.

б) Функція є дробово-раціональною, а тому, щоб вона існувала, знаменник не повинен перетворюватися на нуль. Тобто:

x2 – x ≠ 0;

x (x – 1) ≠ 0;

x ≠ 0 i x – 1 ≠ 0;

x ≠ 0 i x ≠ 1.

Отже, D(y): х∈(-∞; -1) ∪ (-1; 0) ∪ (0; +∞).

в) Функція є дробово-раціональною та містить радикал в чисельнику. Тому для її існування необхідне виконання двох умов: 1) знаменник не повинен дорівнювати нулю; 2) підкореневий вираз повинен бути більшим або рівним нулю. Отже: х2 – 5х + 6 ≠ 0 та х ≥ 0.

 х2 – 5х + 6 ≠ 0;  

х1 ≠ 2, х2 ≠ 3 (за теоремою Вієта) ⇒ х ∈ (-∞; 2) ∪ (2; 3) ∪ (3; +∞).

Враховуючи умову х ≥ 0, отримаємо: D(y): х ∈ [0; 2) ∪ (2; 3) ∪ (3; +∞).

Приклад 

Знайти область визначення функції

 y=\sqrt{2-x}-\frac{5}{\sqrt{2x+8}} .

♦ Функція містить 2 підкореневих вирази. Вираз, який знаходиться під коренем не може бути від’ємним. Оскільки другий підкореневий вираз знаходиться у знаменнику дробу, то він не може дорівнювати нулю (на нуль ділити не можна), а це значить, що він строго додатній. Умови повинні виконуватися одночасно, а тому маємо систему двох нерівностей:

 \left\{\begin{matrix} 2-x\geq 0,\\ 2x+8>0; \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\leq 2,\\ 2x>-8; \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\leq 2,\\ x>-4. \end{matrix}\right.

 x\in (-4;2] . Отже, D(y) = (-4; 2].

Приклад 

Знайти область значень функції:

а) y = 3√x + 5;

б) у = -х– 4х + 2. 

♦ Область значень функції – це множина значень, яких може набувати змінна у.

а) √х ≥ 0 при будь-яких значеннях х. Тому 3√х ≥ 0, при будь-яких значеннях х. А значить 3√x + 5 ≥ 5. Тому: Е(у) = [5; + ∞).

б) Маємо квадратичну функцію. Виділимо повний квадрат тричлена: 

– 4х + 2 = – (х+ 4х – 2) = – (х+ 2·2·х + 4 – 4 – 2) = – ((х+ 2·2·х + 4) – 6) = – ((х + 2)2 – 6) =  – (х + 2)2 + 6.

Оскліьки, вираз (х + 2)≥ 0 при будь-яких значеннях х, то – (х + 2)≤ 0 при х∈R. Тоді, – (х + 2)2 + 6 ≤ 6 для всіх значень х. Отримали: Е(у) = (-∞; 6].

Приклад

Знайти значення функції

 y=\sqrt{2-x}-\frac{5}{\sqrt{2x+8}} в точці х = -1.

♦ Для того, щоб знайти значення функції в точці х = -1, потрібно у записі функції замість х поставити значення -1 та обчислити, тобто:

 y(-1)=\sqrt{2-(-1)}-\frac{5}{\sqrt{2\cdot (-1)+8}}=\sqrt{2+1}-\frac{5}{\sqrt{-2+8}}=

 =\sqrt{3}-\frac{5}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{18}-5}{\sqrt{6}}=\frac{3\sqrt{2}-5}{\sqrt{6}} .♦ 

Приклад 

Дослідити функцію на парність:

а)   y = 5x^{4}-6x^{8}-x^{2};

б)  y=3x^{7}-2x^{3}+x ;

в)  y=\frac{3x^{2}-2}{x^{2}-25} ;

г)  y=\frac{6x^{2}-x^{5}}{x-1} .

♦ За означенням, функція парна, якщо у(-х) = у(х), непарна, якщо у(-х) = -у(х). В іншому випадку функція ні парна, ні непарна. Підставимо в кожну функцію – х замість х та дослідимо її знак.

а)  y(-x) = 5(-x)^{4}-6(-x)^{8}-(-x)^{2}=5x^{4}-6x^{8}-x^{2}=y(x) . Отже, функція парна.

б)  y(-x)=3(-x)^{7}-2(-x)^{3}+(-x) =-3x^{7}+2x^{3}-x=

=-(3x^{7}-2x^{3}+x)=-y(x) . Отже, функція непарна.

в)  y(-x)=\frac{3(-x)^{2}-2}{(-x)^{2}-25}=\frac{3x^{2}-2}{x^{2}-25}=y(x) . отже, функція парна. 

г)  y(-x)=\frac{6(-x)^{2}-(-x)^{5}}{-x-1}=\frac{6x^{2}+x^{5}}{-x-1}=

 =-\frac{6x^{2}+x^{5}}{x+1}\neq -y(x) \; i\; \neq y(x) . Отже, функція ні парна, ні непарна.♦

Приклад 

Побудувати графіки функцій:

 

а) y = -7x + 4;

б) y = – x+ 8x – 15 ;

в) y =  \frac{4}{x^{2}} .

♦ а) y = -7x + 4.

Задана функція є лінійною. Графіком такої функції є пряма. Тому для побудови графіка достатньо взяти дві точки. Складемо таблицю: 

x01
y4-3

Функції та графіки

б) y = – x+ 8x – 15.

Задана функція є квадратичною Графіком її є парабола. Для побудови параболи знайдемо координати вершини та точки перетину графіка функції з осями координат.

Вершини параболи: хв = -b / 2a = – 8 : (-2) = 4, yв = – 4+ 8·4 – 15 = 1.

Перетин з осями:

з віссю Оу (х = 0) ⇒ у = -15;

з віссю Ох (у = 0) ⇒ – x+ 8x – 15 = 0; 

x– 8x + 15 = 0;

х1 = 5, х2 = 3 (за теоремою Вієта).

Оскільки коефіцієнт перед х2 від’ємний (-1), то вітки параболи направлені вниз.

Будуємо графік функції: 

Функції та графіки

в) Функція задає обернену пропорційність. Графіком такої функції є гіпербола. Областю визначення такої функції є х ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞) (х не може дорівнювати нулю, оскільки знаходиться в знаменнику). Так як будь-яке число, піднесенне до квадрата, завжди дадатне, то функція набуває завжди додатних значень. В нуль функція не перетворюється при жодному значення аргумента. Отже, вітки гіперболи будуть розташовані у І та ІІ чвертях. Для більш детальної побудови складемо таблицю: 

х-4-2-1-0,50,5124
у0,25141616410,25

За складеною таблицею будуємо графік функції.

Функції та графіки

Приклад 

Побудувати графік функції, використовуючи геометричні перетворення: 

 y = 2\sqrt{-4-x}+3 .

♦ Побудуємо графік функції, виконуючи геометричні перетворення над графіком функції  y = \sqrt{x} .

1)  y = \sqrt{x} ;

2)  y = \sqrt{-x} ; (відображаємо графік (1) симетрично осі Ох)

3)  y = \sqrt{-4-x} ; (графік (2) переносимо на 4 одиниці вправо вздовж осі Ох)

4)  y = 2\sqrt{-4-x} ; (розтягуємо графік (3) вздовж осі Оу в 2 рази)

5)  y = 2\sqrt{-4-x}+3 . (графік (4) переносимо вгору вздовж осі Оу на 3 одиниці). 

Функції та графіки

Приклад 

Побудувати графіки функцій використовуючи геометричні перетворення:

 y=x^{2}-7x+10 .

♦ Для побудови графіка заданої функції виділимо повний квадрат:  y=x^{2}-2\cdot x\cdot 3,5+3,5^{2}-3,5^{2}+10 ,

 y=(x-3,5)^{2}-2,25 .

Маємо квадратичну функцію. А отже,  почнемо з побудови графіка  y=x^{2} .

Це буде парабола з вершиною в початку координат, вітки якої напрямлені вгору.

Побудований графік перенесемо паралельно осі Ох вправо на 3,5 одиниць. Отримаємо графік функції  y=(x-3,5)^{2} .  

Шляхом перенесення отриманого графіка вздовж осі Оу на 2,25 одиниць вниз отримаємо графік функції  y=(x-3,5)^{2}-2,25 .

Функції та графіки

Приклад 

Знайти область визначення функції

  y=\sqrt{2-x}-\frac{5}{\sqrt{2x+8}}   та обчислити f(-1).

♦ Підкореневий вираз завжди повинен бути невід’ємним. Якщо підкореневий вираз знаходиться у знаменнику дробу, то він не може дорівнювати нулю. Тому маємо наступні обмеження: 

 \left\{\begin{matrix} 2-x\geq 0,\\ 2x8>0; \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\leq 2,\\ 2x>8; \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\leq 2,\\ x>4. \end{matrix}\right. .

Отже, D(y) = (-4; 2].

Знайдемо значення функції в точці х = -1. Для цього у функцію замість х підставимо значення -1. Маємо: 

 f(-1)=\sqrt{2-(-1)}-\frac{5}{\sqrt{2\cdot (-1)}+8}=

 =\sqrt{2+1}-\frac{5}{\sqrt{-2+8}}=

 =\sqrt{3}-\frac{5}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{18}-5}{\sqrt{6}}=\frac{3\sqrt{2}-5}{\sqrt{6}} .

Приклад 

Побудувати графік функції за допомогою геометричних перетворень

 y=x^{2}+3x-10

♦ Маємо квадратичну функцію.

Для використання геометричних перетворень перепишемо її в іншому вигляді. Для цього виділимо повний квадрат:  y=x^{2}+2\cdot x\cdot 1,5+1,5^{2}-1,5^{2}-10; y=\left(x+1,5 \right)^{2}-12,25 .

Почнемо побудову з графіка функції  y=x^{2} – параболи, яка проходить через початок координат, вітки якої напрямлені вгору.

Далі цей графік перенесемо на 1,5 одиниці вліво паралельно осі Ох. Отримаємо графік функції  y=\left(x+1,5 \right)^{2} .

Для отримання графіка функції  y=\left(x+1,5 \right)^{2}-12,25 останній графік перенесемо вздовж осі Оу на 12,25 одиниць вниз.

Функції та графіки

Приклад 

Побудувати графіки функцій, використовуючи геометричні перетворення

 y = \frac{1}{x}, y = \frac{8}{x}, y = \frac{8}{x+2}, y = \frac{8}{x}+2 .

♦ Усі функції відображають оберенену залежність. Тому їх графіками будуть гіперболи.

1)  y = \frac{8}{x} – гіпербола, розміщена в І і ІІІ координатних кутах;

2)  y = \frac{8}{x} – отримуємо з графіка 1 шляхом розтягнення у 8 разів вздовж осі Оу;

3)  y = \frac{8}{x+2} – отримуємо з графіка 2 шляхом паралельного перенесення вліво вздовж осі Ох на 2 одиниці;

4)  y = \frac{8}{x}+2 – отримуємо з графіка 2 шляхом паралельного перенесення вздовж осі Оу на 2 одиниці вгору.

Функції та графіки

Приклад 

Побудувати графік функції за допомогою геометричних перетворень

 y=x^{2}-7x+10 .

♦ Щоб побудувати графік даної функції за допомогою геометричних перетворень спочатку виділимо повний квадрат:

 y=x^{2}-2\cdot x\cdot 3,5+3,5^{2}-3,5^{2}+10

 y=\left(x-3,5 \right)^{2}-2,25

Детально про те, як виділити повний квадрат читай тут.

Тепер виконаємо побудову графіка функції:

1.  y=x^{2} – парабола з центром у початку координат, вітки якої напрямлені вгору;

2.  y=\left(x-3,5 \right)^{2} – отримуємо з попереднього графіка шляхом паралельного перенесення вправо на 3б5 одиниць;

3.  y=\left(x-3,5 \right)^{2}-2,25 – отримуємо з попереднього графіка шляхом паралельного перенесення вниз на 2,25 одиниць.

Зображення до задачі
Покрокова побудова графіків функцій

Приклад 

Побудувати графік функції за допомогою геометричних перетворень

 y=x^{2}+3x-10

♦ Маємо квадратичну функцію. Графіком такої функції буде парабола.

Спочатку потрібно виділити повний квадрат тричлена.

 y=x^{2}+3x-10

 y=x^{2}+2\cdot x\cdot 1,5+1,5^{2}-1,5^{2}-10

 y=(x+1,5)^{2}-12,25 .

1) Будуємо графік функції  y=x^{2} – параболу з центром в початку координат, вітки якої напрямлені вгору;

2)  y=(x+1,5)^{2} – отримуємо з графіка (1) шляхом паралельного перенесення на 1,5 одиниці вліво;

3)  y=(x+1,5)^{2}-12,25 – отримуємо з графіка (2) шляхом паралельного перенесення на 12,25 одиниці вниз.

Малюнок до задачі
Покрокова побудова графіка функції.

♦ 

Приклад 

Побудувати графіки функцій за допомогою геометричних перетворень:

 y=\frac{8}{x}; y=\frac{8}{x+2}; y=\frac{8}{x}+2

♦ Маємо обернену пропорційну залежність. Графіком такої функції буде гіпербола.

1)  y=\frac{1}{x} – гіпербола, розміщена в І і ІІІ координатних кутах;

2) y=\frac{8}{x} – отримуємо з графіка (1) шляхом розтягнення у 8 разів вздовж осі Оу; 

3)  y=\frac{8}{x+2} – отримуємо з графіка (2) шляхом паралельного перенесення вліво на 2 одиниці;

4)  y=\frac{8}{x}+2 – отримуємо з графіка (2) шляхом паралельного перенесення вгору на 2 одиниці.

Рисунок до задачі
Геометричні перетворення графіка функції.

♦ 

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *