Корені. Ірраціональні вирази

Приклад

Знайти значення арифметичного квадратного кореня: 

а)  \sqrt{25} ;    б)  \sqrt{4900} ;    в)  \sqrt{0,64} ;    г)  \sqrt{2\frac{7}{9}} .

♦ Арифметичний корінь – це додатнє значення кореня квадратного. Тому, знаходимо значення кореня квадратного для кожного числа і беремо лише його додатнє значення. 

а)  \sqrt{25}= 5 ;  

б)  \sqrt{4900}=70 ;    

в)  \sqrt{0,64}=0,8 ;    

г)  \sqrt{2\frac{7}{9}}=\sqrt{\frac{25}{9}} =\frac{5}{3}.♦

Приклад

При якому значення а рівняння 1) х2 = а + 3; 2)  ах2 = 3

а) має два різних корені;   б) має один корінь;   в) не має коренів.

♦ 1)  Розв’язком даного рівняння буде   x=\sqrt{a+3}

а) Як відомо корінь може мати два значення лише в тому випадку, коли підкореневий вираз число додатне. Тому: а + 3 > 0 ⇒ а > – 3. Отже, при а ∈ (-3; +∞) рівняння має два розв’язки.

б) Корінь набуває одного значення, якщо його підкореневий вираз дорівнює нулю. Тобто, а + 3 = 0а = – 3. Отже, при а = – 3 рівняння має один розв’язок.

в) Корінь не існує, коли його підкореневий вираз від’ємний. Тобто, а + 3 < 0 ⇒ а < – 3. Отже, при а ∈ (-∞; -3) дане рівняння розв’язків не має.

2) Розв’язком даного рівняння є:  x^{2}=\frac{3}{a} \Rightarrow  x=\sqrt{\frac{3}{a}} .

а) Рівняння матиме два корені, коли підкореневий вираз буде більший нуля, тобто  \frac{3}{a} > 0  ⇒  a > 0 . Отже, при а ∈ (0; +∞) рівняння має два різних корені.

б) Для того, щоб рівняння мало один корінь, потрібно, щоб підкореневий вираз дорівнював нулю. Проте даний дріб не перетворюється в нуль при жодному значенні параметра а. Отже, дане рівняння не може мати одного кореня.

в) Рівняння не матиме коренів, якщо підкореневий вираз буде менший нуля. Тобто  \frac{3}{a} < 0  ⇒  a < 0 . Отже, при а ∈ (-∞; 0) рівняння не матиме коренів. ♦

Приклад

Знайдіть значення кореня: 

а)  \sqrt{64}\cdot \sqrt{81};    б) \sqrt{162\cdot 50}  ;    в) \sqrt{0,1}\cdot \sqrt{0,4}  ;

г)  \sqrt{3^{8}\cdot (-10)^{2}} ;    д)  \frac{\sqrt{108}}{\sqrt{3}}

♦  \sqrt{64}\cdot \sqrt{81}=8\cdot 9=72

 \sqrt{162\cdot 50}=\sqrt{81\cdot 2\cdot 25\cdot 2}=9\cdot 5\cdot 2=90

 \sqrt{0,1}\cdot \sqrt{0,4}=\sqrt{0,1\cdot 0,4}=\sqrt{0,04}=0,2

 \sqrt{3^{8}\cdot (-10)^{2}}=3^{4}\cdot (-10)=81\cdot (-10)=-810

\frac{\sqrt{108}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{108}{3}}=\sqrt{36}=6   . ♦

Приклад

Спростіть вираз:

  \left(9\sqrt{5}+7\sqrt{2} \right)\left(7\sqrt{2} -9\sqrt{5} \right)-\left( 6\sqrt{10}-2\sqrt{5}\right)^{2} .

♦  \left(9\sqrt{5}+7\sqrt{2} \right)\left(7\sqrt{2} -9\sqrt{5} \right)-\left( 6\sqrt{10}-2\sqrt{5}\right)^{2}=

 =\left(7\sqrt{2} \right)^{2}-\left(9\sqrt{5} \right)^{2}-\left( \left(6\sqrt{10} \right)^{2}-12\sqrt{50}+\left(4\sqrt{5} \right)^{2}\right)=

 =98-405-360+12\sqrt{50}-80=12\sqrt{50}-747 .♦

Приклад

Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу:

 \frac{x}{\sqrt{3-x}+\sqrt{3+2x}} .

♦  \frac{x}{\sqrt{3-x}+\sqrt{3+2x}}=\frac{x(\sqrt{3-x}-\sqrt{3+2x})}{(\sqrt{3-x}+\sqrt{3+2x})(\sqrt{3-x}-\sqrt{3+2x})}= 

 =\frac{x(\sqrt{3-x}-\sqrt{3+2x})}{\left(\sqrt{3-x} \right)^{2}-\left(\sqrt{3+2x} \right)^{2}}= \frac{x(\sqrt{3-x}-\sqrt{3+2x})}{3-x-3-2x}= 

 =\frac{x(\sqrt{3-x}-\sqrt{3+2x})}{-3x}=\frac{\sqrt{3+2x}-\sqrt{3-x}}{3} .♦

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *